ответ: вращательное и поступательное движение прекратятся одновременно вне зависимости от того, каковы были их начальные скорости.
Анализ формул можно немного продолжить. Когда u много меньше v, усреднение надо произвести более аккуратно, разложив знаменатель дроби в ряд по малому параметру u/v. Ответ для ускорения вращения окажется вдвое меньше той оценки, которую мы привели в ходе решения. Эти два ускорения можно поделить друг на друга и получить простое выражение:
Коэффициент 1/2 имеет вполне осязаемые последствия. Он меньше единицы, и отсюда получается, что отношение u/v, пусть поначалу очень маленькое, будет увеличиваться с течением времени. А поскольку задача математически симметрична относительно замены поступательного движения на вращательное, отсюда можно заключить, что если отношение u/v очень велико, то с течением времени оно будет уменьшаться. Мы приходим к простому выводу: какими бы ни были начальные скорости u и v, в процессе движения они будут не только синхронно уменьшаться (это мы уже установили в ходе решения), но и все больше приближаться друг к другу.
Для тех, кто знаком с дифференциальными уравнениями, отметим, что нечувствительность ответа к конкретному соотношению между начальными скоростями вращения и скольжения имеет простое математическое объяснение: уравнение для отношения u/v имеет «устойчивую неподвижную точку» при u/v = 1. Это значит, что, каким бы ни было начальное значение u/v, за счет взаимного влияния вращения и скольжения система сама стремится к этому значению в ходе эволюции во времени.
Если бы мы вместо кольца взяли однородный плоский диск, то вывод о существовании устойчивой неподвижной точки остался бы в силе, но ее значение сдвинулось бы и составило примерно 1,53. А если бы вместо плоского диска мы взяли выпуклую или вогнутую форму («чашку», поставленную прямо или вверх дном), то устойчивая неподвижная точка вообще исчезла бы, и тогда вращение и скольжение прекращались бы в разные моменты времени.
Любопытно, что эта довольно простая по постановке задача была проанализирована в деталях совсем недавно. Первые подробные расчеты были опубликованы в 1985 г., причем статья так и называлась: «К вопросу о движении хоккейной шайбы»[1]. Анализ более сложных случаев был проведен уже в 2000-х гг., и тогда же были поставлены прямые эксперименты, которые подтвердили расчеты[2]. Эта система оказалась неожиданно богата на явления, как с точки зрения математических законов (взаимное влияние поступательной и вращательной степеней свободы), так и возможных прикладных аспектов.
Дополнительная информация
Популярный рассказ о современных исследованиях этой простой на вид задачи можно найти в новостной заметке автора «Физики изучают удивительные законы скольжения вращающихся тел», «Элементы», 04.01.2006: elementy.ru/link/slide.
3. Бесконечно длинный маятник
Voyenli K. and Eriksen E. On the motion of an ice hockey puck // American Journal of Physics, 1985, vol. 53, p. 1149. DOI: 10.1119/1.14071.
Farkas Z., Bartels G., Unger T., and Wolf D. E. Frictional Coupling between Sliding and Spinning Motion // Physical Review Letters, 2003, vol. 90, 248302. DOI: 10.1103/PhysRevLett.90.248302.
