= (0, 1), vemos que i2 = (−1, 0). Si identificamos a con (a, 0), podemos escribir (a, b) = a+bi, que es la notación que vamos a utilizar. Así, por ejemplo, tenemos que ℝ ⊆ ℂ o que
Teorema 1.17 (fórmula de De Moivre) Si a ∈ ℝ y n ∈ ℕ, entonces
(cos(a) + sen(a)i)n = cos(na) + sen(na)i.
Demostración. Si suponemos las igualdades trigonométricas
cos(α + β) = cos(α)cos(β) − sen(α)sen(β)
y
sen(α + β) = sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β),
la fórmula de De Moivre es inmediata por inducción sobre n.
Con la fórmula de De Moivre, ya podemos calcular los ceros del polinomio xn − 1: son los n números complejos ξk, donde
y 0 ≤ k ≤ n−1. Estos n números complejos son muy importantes y se denominan las ráıces n-ésimas de la unidad. Los podemos situar en la circunferencia de radio 1 al dividirla en n-ángulos iguales. Por ejemplo, las ráıces 4-ésimas de la unidad son {1, i, −1, −i}.
PROBLEMAS
1. Sean A, B, C conjuntos. Probar:
(i) Si A ∩ B = A ∩ C y A ∪ B = A ∪ C, entonces B = C.
(ii) (A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B).
(iii) A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C).
(iv) A − (A − B) = A ∩ B.
(v) (B ∪ C) − A = (B − A) ∪ (C − A).
(vi) (A − B) − C = (A − B) ∩ (A − C).
2. Sea f : X → Y una aplicación. Si A ⊆ X, se define f(A) = {f(a) | a ∈ A}. Si B ⊆ Y, se define f−1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B}.
(i) Si A ⊆ X, probar que A ⊆ f−1(f(A)).
(ii) Probar que f es injectiva si y solo si A = f−1(f(A)) para todo A ⊆ X.
(iii) Si B ⊆ Y, probar que f(f−1(B)) ⊆ B.
(iv) Probar que f es suprayectiva si y solo si f(f−1(B)) = B para todo B ⊆ Y.
3. Sea f : X → Y una aplicación. Si A y B son subconjuntos de X, probar que f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B) y f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B). Probar que f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) para todos los subconjuntos A, B ⊆ X si y solo si f es inyectiva.
4. Una aplicación f : X → Y es invertible izquierda si existe g : Y → X tal que g ∘ f = 1X. Se dice que f es invertible derecha si existe g : Y → X tal que f ∘ g = 1Y. Probar que f es inyectiva si y solo si f es invertible a izquierda. Probar que f es suprayectiva si y solo si f es invertible a derecha.
(Nota: Para probar que si f es suprayectiva entonces f tiene inversa a derecha necesitamos el llamado axioma de elección. El axioma de elección afirma que si X es un conjunto cuyos elementos son conjuntos no vacíos, entonces es posible elegir un elemento de cada uno de esos conjuntos. Esto que parece algo obvio, no lo es. Por ejemplo, el axioma de elección es equivalente al teorema del buen orden que establece que cualquier conjunto posee una relación de orden tal que todo subconjunto no vacío tiene menor elemento. También es equivalente al llamado lema de Zorn, una de cuyas aplicaciones es que todo espacio vectorial tiene base. Nadie ha encontrado jamás explícitamente un buen orden en ℝ. En definitiva, todo matemático debe plantearse alguna vez si acepta el axioma de elección o no. Nuestro consejo es aceptarlo y seguir adelante).
5. Sean A y B conjuntos. Probar que existe f : A → B inyectiva si y solo si existe g : B → A suprayectiva.
(Ayuda: Aplicar el problema 1.4).
6. Sea f : A → B una aplicación. Probar:
(i) f es inyectiva si y solo si para todo par de aplicaciones h, g : X → A tales que f ∘ g = f ∘ h, entonces g = h.
(ii) f es suprajectiva si y solo si para todo par de aplicaciones h, g : B → X tales que g ∘ f = h ∘ f, entonces g = h.
7. Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones biyectivas. Probar que
(g ∘ f)−1 = f−1 ∘ g−1.
(Nota: A veces este se denomina el Dressing-Undressing Principle, pues nos desvestimos en orden opuesto al que nos vestimos).
8. Sean f : A → B y g : C → D aplicaciones. Se define la aplicación producto f × g : A × C → B × D como (f × g)((x, y)) = (f(x), g(y)). Estudiar cuándo f × g es inyectiva o suprayectiva en función de f y de g.
9. Para cada una de las siguientes relaciones sobre ℤ probar si son relaciones de equivalencia y en caso afirmativo, describir las clases de equivalencia.
(i) R = {(x, y) ∈ ℤ2 | x + y < 3}.
(ii) R = {(x, y) ∈ ℤ2 | x + y es par}.
(iii) R = {(x, y) ∈ ℤ2 | x = y o x
