свести алгебраические операции к общим законам, объединить их и провести новые аналогии. Такой шаг в науке можно было расценивать, как конструктивный и созидательный, поскольку, изменив правила таких абстрактных систем, наука открыла для себя новые разделы алгебры с непредвиденными областями применения.
С другой стороны, тенденция к применению абстрактного метода создала что-то вроде кризиса в области чистой математики. Если она теперь представлялась лишь игрой в символы, в которой игроки следуют произвольным правилам, что же стало с чувством абсолютной истины? В марте 1933 года Алан приобрел «Введение в математическую философию» Бертрана Рассела, в которой ученый попытался ответить на главный вопрос.
Сначала кризис возник в исследованиях в области геометрии. В восемнадцатом веке могло казаться, что геометрия – область науки, представляющая собой свод истин об устройстве мира, и аксиомы Евклида выразили их самую суть. Но уже в девятнадцатом веке появились исследования геометрических систем, которые не вписывались в геометрию Евклида. Также сомнению подверглось убеждение, что геометрия Вселенной является евклидовой. И в рамках отделения математики от естественных наук появилась необходимость задать вопрос, представляет ли евклидова геометрия в абстрактном представлении полное и законченное целое.
Оставалось неясным, действительно ли евклидовы аксиомы описывали полную теорию геометрии. Могло ли случиться так, что некоторые дополнительные предположения были хитрым образом представлены в виде доказательств из-за интуитивных и не выраженных явно идей о точках и прямых. С точки зрения современной науки, появилась необходимость абстрагировать логические связи между точками и прямыми, чтобы выразить их в рамках чисто символических правил, забыть об их «значении» с точки зрения физического пространства и тем самым показать, что в результате эта игра абстракциями была целесообразна сама по себе. Как однажды находясь под влиянием абстрактной точки зрения Виннера на геометрические объекты, Гильберт глубокомысленно заметил своим спутникам: «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках».
В 1899 году Гильберту удалось обнаружить систему аксиом, из которой бы могли быть выведены все теоремы евклидовой геометрии. Тем не менее, доказательство существования такой системы аксиом требовало допущения, что теория «вещественных чисел» была удовлетворительной. Еще в древние времена греческие математики использовали «вещественные числа» для измерения бесконечно делимой длины отрезка. Но, с точки зрения Гильберта, этого было недостаточно.
К счастью, вещественные числа можно было описывать существенно различными способами. Уже к началу девятнадцатого века было хорошо известно, что «вещественные числа» можно представить в виде бесконечной десятичной дроби, например, число π
