Если бы в результате логических рассуждений было выведено утверждение «2 + 2 = 5», за ним последовал бы вывод, что «4 = 5» и «0 = 1», а значит любое число было бы равно нулю и любое утверждение было бы тождественно «0 = 0» и таким образом являлось бы истинным. Поэтому в условиях подобной игры математика должна была представлять собой нечто, полностью лишенное внутренних противоречий, иначе она теряла свой смысл.
Десять лет ушло на попытки Рассела и Альфреда Норта Уайтхеда устранить этот дефект. Существенная трудность заключалась в том, что внутренним противоречием обладала и попытка назвать любой набор объектов «множеством». Понятие требовало более точного определения. И хотя парадокс Рассела был не единственной проблемой, возникшей в теории типов, только ему была посвящена значительная часть совместной работы учёных «Principia Mathematica», в которой Рассел и Уайтхед стремились показать, что вся математика сводится к логике с помощью набора аксиом и нескольких основных понятий, то есть обосновать логицизм. Для этого была введена иерархия различных видов множеств, которые были названы «типами». Формальные объекты этой иерархии разделяются на типы: объекты, множества объектов, множества множеств, множества множеств множеств и так далее. В рамках разработанной теории типов теперь было невозможно сформулировать понятие «множества всех множеств». Между тем, такой подход значительно усложнил теорию, сделав её на порядок более сложной, чем система счисления, принципы которой она и должна была подтвердить. Оставалось неясным, являлась ли теория типов единственным полем для разработки идей о множествах и числах, пока к 1930 году не были разработаны альтернативные системы, автором одной из которых являлся фон Нейман.
На первый взгляд безобидное требование доказательства полноты и последовательности математики открыло для научного сообщество настоящий ящик Пандоры, полный проблем. В одном смысле, математические суждения казались верными, как ничто другое; в другом, они представлялись не больше чем символами на бумаге, которые при попытках объяснить их смысл приводили к непостижимым разумом парадоксам.
Как и в саду Зазеркалья путь к самой сути математики вел в чащу замысловатой специальной терминологии. Подобное отсутствие какой бы то ни было связи между математическими символами и миром физических объектов очаровывало пытливый ум Алана. В конце предисловия к своей работе «Введение в математическую философию» Б. Рассел написал: «Здесь, однако, с точки зрения дальнейших исследований, как и везде, метод более важен, чем результаты, а метод не может быть объяснен в достаточной мере в рамках этой книги. Остается надеяться, что некоторые читатели заинтересуются настолько, чтобы продолжить изучение метода, которым математическая логика помогает прояснить традиционные проблемы философии». Таким образом, можно считать, что книга выполнила свое истинное предназначение с точки зрения автора, поскольку Алан всерьёз
