allgemeine Popularität der Administratoren unter den Nutzern auszunutzen und nebenbei auch noch Geld in die klammen Kassen zu spülen entschließt sich die Universität Stuttgart dazu Päckchen zu verkaufen. Jedes dieser Päckchen enthält jeweils eine der acht verschieden All-Time-Best-Ever Netz-Chef als Plastikfigur. Einen anderen Grund die Päckchen zu kaufen gibt und braucht es auch nicht. Da keiner der Nutzer jemals wieder ein glückliches Leben führen kann wenn er nicht alle acht Figuren besitzt und niemand Figuren tauscht, stellt sich daher die Frage wie viele Packungen müssen Sie im Schnitt kaufen, bis Sie einen kompletten Satz von acht
verschieden Figuren gesammelt haben? Die verschiedenen Figuren sind mit gleicher Häufigkeit in den Packungen vertreten.
Beachten Sie Yi := Xi-Xi-1, wobei X1 die Zahl der gekauften Packungen sei, bis Sie i verschiedene Figuren beisammen haben. Warum ist Y1 geometrisch verteilt?
Jedes Jahr findet zu Beginn des Wintersemsters eine Computereinführungsveranstaltung im Fachbereich Mathematik und Informatik der Uni Stuttgart statt. Aus langjähriger Erfahrung weiß man, dass etwa 18 % der angemeldeten Kursteilnehmer nicht zum Kurs erscheinen. Und da jeder Teilnehmer einen eigenen Rechner während des Kurses braucht können nicht mehr Teilnehmer als freie Computer am Kurs teilnehmen. Insgesamt gibt es zehn Kurstermine mit je 22 Plätzen und in jedem der zwei Fächer, die für diesen Kurs in Frage kommen, gibt es je 120 Erstsemster. Um die Rechnung zu vereinfachen wird von einem großen Termin ausgegangen, d.h. ein Termin mit 220 Plätzen. Berechnen Sie mittels Approximation durch den zentralen Grenzwertsatz
1. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Kursteilnehmer die zum Kurs da sind einen Platz finden, wenn sich für den Kurs alle Erstsemster angemeldet haben.
2. wie viele Anmeldungen dürfen höchstens angenommen werde, wenn mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.99 alle erscheinenden Kursteilnehmer in einem Kurs mit 220 Plätzen einen Platz finden sollen.
Aufgabe 3
Jedes Jahr zum Sommersemester veranstaltet die Uni Stuttgart ein Sommerfest zusammen mit allen wissenschaftlichen Instituten wie auch dem Fachbereich Mathematik. Zum Verkauf stellt der Fachbereich Mathematik knapp 10 Kilogramm Brombeermarmelade her. Dazu braucht man ungefähr 10000 Brombeeren. Aus jahrelanger Erfahrung in der Mathematik wissen wir, dass in einer von hundert Brombeeren ein Wurm ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in den 10000 Brombeeren in höchstens zehn eine mit 'Fleischeinlage' dabei ist. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit jeweils,
1 exakt
2 mit der Approximation durch die Poisson-Verteilung
3 mit dem zentralen Grenzwertsatz
4 Bestimmen Sie auch den jeweiligen relativen Approximationsfehler
Aufgabe 4
In einer Schublade liegen sechs blaue, 10 schwarze, drei weiße und fünf graue Paar Socken. Im Dunkeln werden zwei Paar aus der Schublade genommen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dabei
a) je ein Paar schwarze und weiße,
b) je ein Paar blaue und graue,
c) zwei gleichfarbige Paare herauszugreifen?
Aufgabe 5
Aus einer Gruppe von 20 Personen werden beim Grenzübertritt vier vom Zoll kontrolliert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den kontrollierten Personen
a) die beiden Schmuggler der Gruppe kontrolliert werden,
b) einer der beiden Schmuggler kontrolliert wird,
c) keiner der beiden Schmuggler kontrolliert wird?
Aufgabe 6
Aus einem Skatspiel werden mit einem Griff drei Karten gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß dabei
a) nur Buben gozogen werden,
b) zwei Buben gozogen werden,
c) nur Herz gozogen werden,
d) Kreuz Ass gezogen wird?
Aufgabe 7
Mein Internet-Provider hat große Probleme mit dem sog. support, den er seinen Kunden anbietet. Es wäre schon ein gewaltiger Fortschritt, wenn jede zweite Kundenanfrage befriedigend beantwortet werden könnte. Angenommen, dieses "hochgesteckte" Ziel könnte erreicht werden. Wie groß wäre dann die Wahrscheinlichkeit, dass
a) von 10 Anfragen fünf,
b) von 20 Anfragen mindestens drei,
c) von 50 Anfragen mindestens die Hälfte
korrekt beantwortet werden könnten?
Aufgabe 8
Wenn ich morgens zur Schule fahre, verlasse ich mich darauf, daß mein Bus an der Abfahrthaltestelle verspätet abfährt. In 90% aller Fälle komme ich so rechtzeitig zur Haltestelle. In 10% der Fälle verpasse ich meinen Bus, weil er keine Verspätung hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ich meinen Bus innerhalb von 5 Arbeitstagen
a) an drei aufeinander folgenden Tagen erwische,
b) an drei aufeinander folgenden Tagen verpasse?
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