den Ablauf der Problemlösung verständlich und bewusst zu machen, so kann er einen Algorithmus entwickeln.
Unter Algorithmus versteht man ein mitteilbares (lehrbares) Verfahren zur Problemlösung.
Ein derartiges Verfahren beseitigt die Notwendigkeit des planlosen Probierens oder des oft vergeblichen Wartens auf eine Idee. Ein einfaches Beispiel für einen Algorithmus ist das übliche Divisionsverfahren.
Es wäre ein großer Irrtum anzunehmen, dass es einfach sei, aus einer speziellen Problemlösung den allgemeinen Algorithmus abzulesen, oder dass heute alle bekannten Problemlösungen bereits als Teile von Algorithmen erkannt worden wären. Bei vielen Problemen bedarf es noch immer der in jedem Spezialfall neuen Idee, die man nicht erzwingen kann. Algorithmen sind ihrer Natur gemäß in ihrer Struktur so durchsichtig, dass es möglich ist, Maschinen zu bauen, die nach bestimmten Algorithmen ablaufen. Das heißt natürlich nicht, dass die Maschine den Algorithmus versteht, so wie ja auch ein fallender Mensch auch ohne Kenntnis der Fallgesetze diese befolgt.
Wir sind in unserer Betrachtung nun so weit vorgeschritten, dass wir versuchen können festzulegen, was man unter Mathematik verstehen soll.
Wie Wittgenstein bemerkt hat, ist die Definition der Mathematik deswegen so schwierig, wenn nicht unmöglich, weil zwar immer ein Teilgebiet mit einem anderen Ähnlichkeit hat, ohne dass man aber deswegen sagen könnte, ob es überhaupt etwas gibt, was alle Teilgebiete gemeinsam haben (2).
Ich habe daher versucht, jene Wurzeln zu bestimmen, aus der die Disziplinen der Mathematik hervorwachsen. Entfernen sich manche Zweige auch sehr von ihrem Ursprung, so bleibt doch der Zusammenhang und damit die Berechtigung dieser Charakterisierung gewahrt. Weiter oben wurde gezeigt, dass besonders Informationen, die quantitative Begriffe enthalten, einerseits wegen ihrer Wichtigkeit, andererseits wegen ihrer Schwierigkeit der Umformung bedürfen. Um anzudeuten, dass bei der Aufbereitung der Information an ihrem Inhalt nichts verändert wird, sprechen wir von Äquivalenzumformungen.
Jenen Bereich menschlichen Handelns, der derartige Äquivalenzumformungen zum Ziel hat, sowie jenes Gebiet menschlichen Wissens, das die rechten Anleitungen zu solchen Umformungen und den Überblick über bereits vorgenommene Transformationen beinhaltet, nennen wir die Wurzeln der Mathematik.
Es wurde auch gezeigt, dass dieser Bereich notwendigerweise von Spezialisten betreut wird, die für ihre Mitmenschen teils Algorithmen, teils fertige Problemlösungen produzieren.
1.4 Die natürlichen Zahlen
Wie ich schon weiter oben angedeutet habe, verfügt der Mensch über die Wörter „kein", „ein", „zwei", „drei" und „viele" in sehr ähnlicher Weise wie über Wörter wie z. B. „grün". Der Unterschied besteht darin, dass „grün", wie auch immer die Interessenlage des Menschen seinen Wahrnehmungsbereich strukturiert, als solches erkannt wird, währenddem bei derselben Umweltsituation etwa „drei" oder „kein" empfunden wird, worauf sich die Aufmerksamkeit eben gerade richtet.
Zu der, wie schon früher erwähnt, vorteilhaften Erweiterung dieser kleinen Wortfamilie führt man nun den Zählprozess ein. Dieses Verfahren leistet zweierlei, nämlich erstens werden dadurch die gewünschten neuen Wörter gebildet, und zweitens besitzt man in ihm das geeignete Hilfsmittel, um eindeutig feststellen zu können, ob dieser neugebildete Prädikator (3) einem Aspekt der Welt zu- oder abgesprochen werden soll. Durch die Kenntnis dieses Verfahrens versteht man also die Zahlwörter, d. h„ man kann sie entsprechend verwenden. Wie führt man den Zählprozess nun durch, oder einfacher, wie zählt man? Dazu ist es vor allem einmal erforderlich, dass man sich darüber klar ist, worauf man seine Aufmerksamkeit zu richten hat, und dann auch dabei bleibt. Es muß einerseits jener Teil der Erscheinungswelt, in dem sich jene Konfiguration, der ein Zahlwort zugesprochen werden soll, befindet, räumlich und zeitlich zur Bestimmung eben jener Konfiguration abgegrenzt werden und andererseits die Aufmerksamkeit auf jene Gestalten eingestellt werden, aus denen die Konfiguration aufgebaut ist. Damit gezählt werden kann, ist es selbstverständlich nötig, die zu zählenden Gestalten als solche erkennen zu können. Diese Fähigkeit ist beim Menschen durchaus begrenzt, er vermag nicht, alles unmittelbar zu zählen. Immer dann, wenn nun im räumlich und zeitlich begrenzten Aufmerksamkeitsbereich, der in einer geeigneten Weise die betreffende Konfiguration überstreicht, eine zu zählende Gestalt als solche erkannt wird, wird ihr im Sinne seines natürlichen Gebrauchs das Wort „eins" zugeschrieben. Dadurch entsteht der neue Prädikator „eins eins . . . eins" (oder wenn man in den Pausen „und" einfügt: „eins und eins . . ."), von dem man sagt, dass er der Konfiguration, die seine Herstellung „gesteuert" hat, zukomme.
Da nun der Gebrauch eines unter Umständen sehr langen Wortgebildes unbequem ist, führt man dafür per Definition Abkürzungen ein wie „zwei" für „eins eins" und so weiter.
Man muss also zwischen „zwei(1)" und „zwei(2)" unterscheiden, wobei „zwei(1)" unmittelbar gehandhabt wird, während „zwei(2)" als Abkürzung für „eins eins" in entsprechender Weise zu gebrauchen ist. Die Erfahrung, dass „zwei(1)" und ,,zwei(2)" denselben Konfigurationen zu- oder abgesprochen wird, hat zu dieser Äquivokation geführt. Es sei darauf hingewiesen, dass man es in der Arithmetik immer mit „zwei(2)" zu tun hat. Entsprechendes gilt für „drei". Welche Voraussetzungen muß man nun erfüllen, um Zahlwörter verstehen, das heißt anwenden zu können? Diese Frage interessiert deswegen, weil durch ihre Beantwortung der „Grund", auf dem die „Zahlen" ruhen, sichtbar werden wird.
Aus unserer Analyse des Zählvorganges lesen wir ab, dass dazu erstens die Fähigkeit, gewisse Gestalten zu erkennen, notwendig ist. Zweitens muss man ausreichend handlungsfähig sein, einerseits in systematischer Weise die abzuzählende Konfiguration beobachten und andererseits das Wortgebilde „eins eins . . . eins" bilden zu können. Wenn sich die (jedenfalls beim Menschen) begrenzte Fähigkeit, Gestalten unmittelbar zu erkennen, auch auf Inhalte sprachlicher Mitteilungen erstreckt, so dass unabhängig von der gewählten Ausdrucksweise die Rolle dieser Mitteilung im Sprachspiel erkannt wird, so bringt eine derartige Zählfähigkeit offenbar das Sprachverständnis mit sich. Umgekehrt ermöglicht es eine ausreichende Sprachbeherrschung, wie man sich leicht überlegt, bestimmte Konfigurationen (z. B. Wörter in Sätzen) abzuzählen. Wir können daher sagen, dass sich gewisse Sprach- und Zählfähigkeiten wechselseitig implizieren. Wer sprechen kann, kann daher zumindest potentiell auch schon zählen. „Zahlen" brauchen einem sprachbeherrschenden Individuum gegenüber daher nicht „begründet" zu werden, sondern es müssen lediglich die Regeln des Zählverfahrens innerhalb der Sprache charakterisiert werden (4).
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