только в мышлении. Как произошло это? Наблюдая существующие линии, все более или менее кривые, человек обратил некогда внимание на то, что эта кривизна их то увеличивается, то уменьшается, тогда как самые линии остаются неизменно; и, вдумываясь глубже в это явление двух вечно сопутствующих друг другу фактов (протяженности и направления), из которых один неизменен, другой же – изменяется, он разделил наконец в своем мышлении то, что неразделимо в природе. Этот момент, когда в сознании отделилось понятие о кривизне как изменяющемся направлении, от представления самой кривой как некоторого протяжения, был моментом, когда зародилась наука геометрия; и тот, в чьем мышлении произошло это, был первым геометром, творцом новой науки о протяженности. Отделив мысленно кривизну как нечто сопутствующее и изменяющееся в линии от самой линии и далее продолжая, также мысленно, различным образом соединять эти два элемента, то увеличивая, то уменьшая изменяющийся между ними (кривизну), – он уже мог без труда придти к созданию в своем представлении геометрически правильных линий, которых он не находил в природе, и к образованию в своем мышлении геометрически истинных определений их, способных дать из себя плодотворные выводы. Так, напр., произошло понятие о прямой линии. Заметив, что в линиях, существующих в природе, кривизна иногда уменьшается, человек мог уже создать мысленно линию, в которой кривизна совершенно исчезает, отсутствует. Это – линия с тожественным направлением во всех частях своих[5], которая не существует в природе и которая, раз возникнув в воображении, затем могла быть подвергнута умозрительному изучению, давшему все те знания о ней, с которыми мы знакомимся теперь в геометрии. Все эти знания касаются свойств прямой линии, выведенных умозрительно через рассмотрение природы ее, выраженной в определении «прямая есть линия с тожественным направлением во всех частях своих». Так же произошло и геометрическое понятие об окружности. Видя, что в существующих линиях кривизна всегда неправильна, т. е. изменение направления непостоянно, человек мог придти к представлению линии с постоянною, правильною кривизною; или, что то же, к понятию об окружности, в которой каждый последующий элемент так же изменяет свое направление, как элемент предыдущий. Подобным же способом произошли и все другие первоначальные понятия геометрии, из которых затем было выведено умозрительно все содержание ее.
Таким образом, создавая истины, на которых покоится математика, разум не обобщает только наблюдаемое им в природе; и содержащееся в этих истинах не есть только отражение содержащегося в действительном мире. Образуя их, он проявляет некоторое творчество, и объекты их – существующие только в сознании сочетания элементов, наблюдаемых в природе в других отношениях. Ничего подобного нет в учении о всеобщей связи причины со следствием; здесь объект изучения – не созданное творческим мышлением человека, но факт внешнего мира, подлежащий
Обыкновенное в геометриях определение прямой как кратчайшего расстояния между двумя точками не есть ни первоначальное, ни совершенное определение; оно не первоначально, потому что указывает на свойство ее, вытекающее из ее природы и выведенное из нее (тожество в направлении); оно несовершенно, потому что, не раскрывая природы определяемого, указывает только его признак и содержит еще в себе понятие о точках, чуждое и внешнее для понятия о линии.
