роста, являются точными терминами, характеризующими его конкретные траектории, соответствующие (иногда почти идеально, часто довольно точно) различным математическим функциям. Такие точные, даже идеальные, совпадения возможны, потому что большинство процессов роста являются в высшей степени упорядоченными и развиваются в соответствии с ограниченным числом моделей. Естественно, эти траектории имеют множество индивидуальных межвидовых и внутривидовых вариаций для организмов и отмечены исторически, технически и экономически обусловленными отклонениями для инженерных систем, экономики и общества. Три базовые траектории включают линейный, экспоненциальный рост и различные модели ограниченного роста. Линейный рост легко понять и рассчитать. Экспоненциальный рост легко понять, но лучший способ его рассчитать – использовать натуральные логарифмы, для многих являющиеся загадкой. Принцип моделей ограниченного роста, включая логистическую функцию, функцию Гомпертца и функцию ограниченного экспоненциального роста, также легко понять, но их математические решения требуют применения дифференциального исчисления.
Но прежде, чем более подробно рассмотреть отдельные функции роста, их решения и кривые роста, я посвящу два небольших раздела временны́м интервалам и критериям изучения роста. В кратких обзорах я представлю как распространенные, так и реже встречающиеся переменные, рост которых нас интересует как родителей, сотрудников или налогоплательщиков, ученых, инженеров и экономистов или историков, политиков и специалистов по планированию. Их спектр включает такие универсальные вопросы, как вес и рост растущих младенцев и детей и рост национальной экономики. Кроме того, существуют нечастые, но пугающие вопросы, касающиеся распространения потенциально пандемических инфекций, риск которых повышается благодаря массовым авиаперелетам.
Временны́е интервалы
Рост – это всегда функция от времени, и в процессе современных научных и инженерных исследований их авторы прослеживают траектории с помощью бесчисленных графиков, где время обычно наносится на ось абсцисс (горизонтальную или ось х), а растущая переменная измеряется на оси ординат (вертикальной или оси у). Конечно, мы можем отслеживать рост (и делаем это) физических или нематериальных феноменов в зависимости от изменений других подобных переменных: мы строим графики зависимости роста детей от изменения их веса или роста реального дохода от роста ВВП, но большинство кривых роста (и в более простых случаях прямых) являются, по определению Джеймса Максвелла, диаграммами перемещений и, по определению Томпсона, диаграммами временно́й зависимости: «У каждой есть начало и конец; и одна и та же кривая может иллюстрировать и жизнь человека, и экономическую историю королевства… Она демонстрирует работу “механизма” и помогает нам видеть аналогичные механизмы в разных областях, поскольку Природа “закольцовывает” свои многочисленные изменения на нескольких простых
