bileşik kesirlerle hesaplamalar yapmak daha kolay olsa da ilk bakışta tam sayılı kesirleri anlamanın daha kolay olmasıdır. Bileşik bir kesri karma kesre çevirmek için Çıkarma işlemi de benzer biçimde gerçekleştirilir:
En küçük ortak çarpan 36’dır. Denkliği, paydası 36 olan kesirlere dönüştürmek üzere kullanın.
Çarpma işlemi çok kolaydır; payları ve paydaları birbirleriyle çarparım. Örneğin:
Bir bayağı kesir ile çarpım yaptığınızda toplam değerin küçüldüğünü belirtmekte yarar vardır. Ayrıca burada bir yarım değeri (1/2) bayağı kesirleri bölmede bize yardımcı olacak bir şeyi vurgulamak üzere özellikle seçtim. Yukarıda bir yarım değer ile çarpımın aslında ikiye bölmeye eşdeğer olduğunu görebiliyoruz. Ve benzer biçimde üçte bir değerle çarpım da aslında üçe bölmeye eş olacaktır. Bu ilişkiye bir sayının tersi denir. İki ile yarım (1/2) birbirlerinin tersidir ve şayet iki sayısını bayağı bir kesir olarak yazacak olursam bu durumun nasıl işlediği açıklığa kavuşur:
Herhangi bir sayıya bölmek, onun tersi ile çarpmanın aynısı olmasından dolayı aslında bu oldukça kullanışlıdır.
Bu bilgiyi bayağı kesirleri bölmek için kullanabilirim:
On beşin asal çarpanları üç ile beştir ve bu yüzden
Asal sayıların matematikçiler tarafından bu denli ilgi odağı olmasının nedenlerinden biri de şimdiye dek hiç kimsenin asal sayılar için belirli bir model ya da formülü keşfetmemiş olmasıdır. Birçok kişi denemiş ancak başarıya henüz ulaşamamıştır. Örneğin Fransız rahip Marin Mersenne (1588-1648) şu formülü kullanarak bir dizi sayıyı hesaplamıştır:
İlk sayıyı belirlemek için n’yi bir olarak alırsınız, ikinci sayı için de n’yi iki olarak alırsınız ve bu şekilde devam eder. Buradan hareketle şöyle bir dizi oluşur:
Mersenne bu formülle elde edilen sayıların bazılarının 3, 7, 31 ve 127 gibi asal sayılar olduklarını fark etmiştir. Bu sayılar da dizideki ikinci, üçüncü, beşinci ve yedinci sayılardır. İki, üç, beş ve yedinin kendisi de ayrıca asal sayılardır. Dolayısıyla görünüşe göre n yerine bir asal sayı koyduğumuzda formülden bir asal sayı elde edersiniz. Ancak yediden sonraki asal sayı on birdir ve formüle göre M11 = 2047 eder. Ne var ki 2047 bir asal sayı değildir çünkü 2047 = 23 x 89 eder.
Büyük asal sayıları makine yardımı olmaksızın belirlemek zordur. Örneğin, M107 ile 33 haneli bir sayı elde edilir ve herhangi bir sayının bunun böleni olup olmadığını ve bu sebeple de bu sayının bir çarpan olup olmadığını kontrol etmek oldukça zaman alıcı bir uğraş olur.
Kusursuzca ve hiç usanmadan hesaplamalar yapabilen bilgisayarların bulunduğu dijital çağa buyurun. 1950’li yıllardaki ilk bilgisayarlar yüzlerce haneleri olan ve bilindikleri ismiyle Mersenne asal sayılarını bulabiliyorlardı. 1999 yılına gelindiğinde ise ilk milyon haneli Mersenne asal sayısı keşfedildi. Günümüzdeki rekor ise M74,207,281 için belirlenen 22 milyondan fazla basamağı olan bir sayıdır.
Amerikalı matematikçi Frank Nelson Cole (1861-1926), 1903 yılında, bir dersi esnasında asal sayı olduğu düşünülen M67 hakkında aşağıdaki çarpımı yazmıştı:
147.573.952.589.676.412.927 = 193.707.721x761.838.257.287
Daha sonra sonucun doğruluğunu ispatlamak için bu çarpım işlemini elle yapmaya koyulmuştu. Bunu yapması bir saatini almış ve çarpım işlemini tam bir sessizlik içinde gerçekleştirmişti. Cole, “dersinin” sonunda yerine tek kelime etmeden geçmiş ve bu sırada meslektaşları tarafından ayakta alkışlanmıştı.
Ne gerek vardı? Aslında matematikçiler oldum olası mesleklerine duydukları katıksız sevgiden dolayı hemen her şeyi araştırırlar. Öte yandan asal sayılar modern zamanın şifreleme yöntemlerinin omurgasını oluştururlar. Örneğin kredi kartımın detayları gibi bir sayıyı internet aracılığı ile iletmek istersem ne yaptıklarını bilen insanlar için bu sayıyı yakalayıp paramı harcamak çok kolaydır.
Buna engel olmak adına internet, iletilmekte olan sayıyı değiştirmek için bir ortak anahtarın kullanıldığı şifreleme yönteminden yararlanır. Bu anahtar ise aslında çok büyük asal sayılardan yaratılmış olan çok büyük ve açıkçası rasgele bir araya getirilmiş sayıların birleşimidir. Sadece özel anahtara sahip olan planlanan alıcı bu süreci belirli bir zaman dilimi içerisinde geriye çevirebilir.
Ağ adresinin başındaki “https”, bu ağ sitesinin bilgisayarınıza gelen ve ondan giden bilgiyi şifrelemek üzere Hypertext Transfer Protocol with Transport Layer Security (Güvenli Bağlantılı Metin Aktarım Protokolü) kullandığı anlamına gelir. Böylece bazı çok akıllı matematikçiler sayesinde çevrimiçi olarak istediklerinizi güvenle sipariş edebilirsiniz.
7. Bölüm
İKİLİ SİSTEM
İlk bölümde bilgisayarlardan ve kolayca gerçekleştirdikleri aritmetik işlemlerden nasıl faydalanabileceğimizden bahsetmiştim. Bununla nirlikte bilgisayarlar çoğunlukla insan zekâsının ürünüdür. En nihayetinde elektronik bilimden yararlanıp ikili sistemle hesaplama yapabilen makineler meydana getiren, yani bilgisayarları dijitalleştiren de insan zekâsıdır. Bu, her basamak değerinin on sayısının katı olduğu (1, 10, 100, 1000 vs.) bizim kullandığımız ondalık sistemin aksine basamak değerlerinin iki sayısının katları olduğu (1, 2, 4, 8, 16 vs.) bir sayı sistemidir.
Bunun nedeni ise, elektronik bakış açısıyla, elektrik gerilimlerini ya sıfır ya da sıfır-değil (sıfır-değiller bir olarak sayılır) olarak görmenin daha kolay olmasıdır. Şayet sıfır volt değerindeki gerilimler için sıfır, bir volt için bir ve benzeri biçiminde bir analog ondalık sistem kurmaya çalışsaydık bilgisayar içindeki bileşenler arasındaki kablonun uzunluğuna bağlı olarak gerilim değerlerinin düşmesinin yanı sıra bilgisayar ısındıkça içindeki bileşenlerin de direnci değişeceğinden bazı sorunlarla karşılaşırdık.
Modern bilgisayarların hesaplama sisteminden dolayı ikili sistemin oldukça modern bir
