каждое непустое выражение из объединения фундаментальных произведений задает некоторое множество или совокупность множеств разбиения и такое задание однозначно определяет это множество.
Если рассматривать операцию объединения как сложение, а операцию пересечения как умножение, то подобные выражения часто называют многочленами. Эти многочлены можно преобразовывать, используя алгебраические методы. Многочлен, образованный из фундаментальных произведений, единственным образом задает любое подмножество разбиения. Будем называть такой многочлен каноническим. Осуществляя эквивалентные преобразования выражения для многочлена в каноническом виде, при котором сохраняется множество, которое он определяет, можно получать более простые выражения для аналитического задания данного множества. Если многочлен для заданного множества не допускает дальнейшего упрощения, то такой многочлен называется минимальным.
Рассмотрим пример использования многочленов.
Пример 1.6
Предположим, что в некотором университете проведена выборочная проверка посещаемости занятий девяти студентов по трем предметам: математике, информатике и английскому языку. Обозначим через А множество тех студентов, которые имеют по крайней мере один пропуск по математике. Тогда АС будет представлять собой множество студентов, которые не имеют ни одного пропуска по математике. Пусть В – множество студентов, которые имеют по крайней мере один пропуск по информатике, и С – по крайней мере один пропуск по английскому языку.
В деканат поступили следующие сведения:
– список студентов, которые не имеют пропусков занятий ни по одному из предметов, AС ∩ BС ∩ CС= Ø;
– список студентов, которые не имеют пропусков ни по математике, ни по информатике, но имеют по английскому языку (в списке вместо фамилий будем для простоты указывать номера студентов), AС ∩ BС ∩ C = {9};
– список студентов, которые не имеют пропусков по математике и английскому языку, но имеют – по информатике, AС ∩ B ∩ CС = {8};
– список студентов, которые не имеют пропусков по математике, но имеют по информатике и английскому языку, AС ∩ B ∩ C = Ø;
– список студентов, которые имеют пропуски по математике, но не имеют по информатике и английскому языку, (A ∩ BС ∩ CС) = {1,6};
– список студентов, которые имеют пропуски по математике и английскому языку, но не имеют по информатике, A ∩ BС ∩ C = {2,7};
– список студентов, которые не имеют пропусков ни по математике, ни по информатике, но имеют по английскому языку, A ∩ B ∩ CС= {3};
– список студентов, которые имеют пропуски по всем трем предметам, A ∩ B ∩ C = {4, 5}.
Получив эти данные, деканат хотел бы составить списки тех студентов, которые:
1) имеют пропуски по математике, но не имеют по информатике;
2) имеют пропуски по математике
