поскольку благодаря ему части отделимы друг от друга, и мы имеем дело именно с целым, а не с единым и простым. Последнее было бы непостижимо, поскольку в нем невозможна никакая организация, никакая соразмерность.
2.3. Пифагорейская математика
Близкие идеи мы находим в пифагорейских исследованиях по геометрии и арифметике.
На первой из названных наук мы не будем останавливаться подробно. Приведем лишь некоторые соображения, касающиеся греческой геометрии вообще, имея в виду, что пифагорейцы, по-видимому, создали ее значительную часть.
Ведущей идеей в геометрии является идея равенства фигур. Основной операцией здесь является наложение линий и/или фигур и их сопоставление. Важным результатом геометрического рассуждения становится заполнение одной линии или фигуры организованной совокупностью других.
Рассмотрим, например, задачу об удвоении квадрата, решение которой приведено в диалоге Платона «Менон».
Сама задача состоит в том, чтобы построить квадрат, вдвое больший данного. Решение сводится к демонстрации, что именно таким квадратом, будет квадрат, сторона которого равна диагонали исходного квадрата. Это видно из приводимого рисунка.
Рис. 2. Задача удвоения квадрата
Мы видим, что исходный квадрат – ABCD – составлен из двух равных треугольников. Квадрат DBFE, построенный на диагонали исходного, составлен из четырех точно таких же треугольников. Поэтому он вдвое больше исходного.
Здесь мы видим общий метод решения задач: разделение некоторого целого на равные части и составление нового целого из тех же частей. При этом достигается возможность соизмерения двух целостностей. В приведенном примере прямоугольный треугольник, полученный при делении исходного квадрата диагональю, является общей мерой для двух квадратов. Сопоставление двух целых предметов достигается благодаря их составленности из соизмеримых частей, в конечном счете из многократно воспроизведенной части, являющейся общей мерой.
Однако не все оказывается так гладко. Пифагорейцам пришлось иметь дело с задачами, которые не решаются подобным способом. В таких задачах ни при каком разбиении на части одного целого не удается составить из этих частей другое. Иными словами, существуют несоизмеримые величины. Таковы, например, сторона и диагональ квадрата. Мы не будем приводить здесь доказательства их несоизмеримости, но попробуем описать существо проблемы. Ясно, что диагональ больше стороны. При этом она не превышает сторону в целое число раз: удвоив сторону квадрата, мы получим величину, превышающую диагональ. Если взять теперь половину стороны, то окажется, что две половины, как мы знаем, меньше диагонали, тогда как три вторых стороны ее превышают. Разбив сторону на три равные части, мы получим, что 4/3 стороны меньше диагонали, а 5/3 – больше. Точно также 5/4 стороны не достает для покрытия диагонали, 6/4 – уже избыток. Такой же результат получится и при более дробных делениях.
