style="font-size:15px;"> Обнаруживается интересная связь между квадратными и нечетными числами. Каждый квадрат есть сумма последовательных нечетных чисел. Пока что, впрочем, это остается лишь эмпирическим наблюдением. Доказательство этого свойства легко получается, если прибегнуть к пифагорейским «фигурным» числам. Заметим только, что всякое нечетное число представимо так:
Такое представление получило название «гномон».
Теперь мы можем легко убедиться, что прибавление 3 к 1 изображается как наложение соответствующего гномона на единицу, а каждое последующее прибавление нечетного числа к полному квадрату – наложение соответствующего гномона на этот квадрат. Это и есть требуемое доказательство. Оно в буквальном смысле очевидно, т. е. видно глазами, благодаря выявлению структуры квадратного числа. Последнее оказывается составленным из гномонов, т. е. из последовательных нечетных чисел.
Рис. 4. Квадрат, составленный из гномонов
Попробуем сделать вывод из этого исследования. Наше понимание числа становится более богатым, знание более ясным. Если говорить о числе 9, с которого мы начинали, то в нем выделяется достаточно сложная структура. Оно предстает как целое, составляемое разными способами из разных частей. На примере квадратных чисел мы можем видеть определенный ход познающей мысли. Углубление нашего знания происходит так, что от изначально неструктурированного (или малоструктурированного) целого, мы идем к большей детализации, делая понимание более определенным. Указанный ход мысли имеет три аспекта. Первый аспект – конструктивный. Рассуждая о свойствах чисел, мы конструируем эти числа, производим последовательные операции по определенным правилам, собирая целое из частей. Второй аспект – описательный, или «логосный». Каждое наше действие выражается в языке, обозначается словом. Наконец, третий аспект – созерцание, т. е. непосредственное ви́дение целого, устроенного определенным образом. Этот последний аспект наиболее важен. Именно в таком усмотрении целого и состоит знание. В нем каждый шаг конструктивной процедуры получает свое окончательное обоснование. В противном случае конструирование было бы слепым, бесцельным. Кроме того, в целом, схваченном единым взглядом, оказываются запечатлены все шаги конструктивной процедуры. Целое, полученное в результате конструирования, как будто заранее предопределяет ее. Будучи более поздним в порядке возникновения, оно предшествует по сути. В самом деле, квадратное число, разделенное на гномоны, содержит в себе всю процедуру последовательного наложения. Точно также чертеж удвоенного квадрата, приведенный нами в разделе о геометрии, дает понимание всей процедуры доказательства соответствующей теоремы.
Однако такое целостное усмотрение невозможно выразить в слове. Логосный аспект понимания неизбежно связан с конструктивным. Если мы попробуем выразить словами наше ви́дение целого, то вынуждены будем последовательно описывать связь его частей, т. е. шаг за шагом воспроизводить конструктивную процедуру.
1. Опишите
