В такой ситуации Энн в половине случаев может рассчитывать на выигрыш 6 и в половине случаев – на выигрыш 2; иными словами, статистическое среднее, или ожидаемый выигрыш, составит 4 = (0,5 × 6) + (0,5 × 2).
И наконец, мы используем дерево игры, представленное на рис. 3.1, чтобы объяснить концепцию стратегии. Единичное действие, предпринятое игроком в узле, называется ходом. Но игроки могут и должны составлять планы последовательности выполнения ходов, которые они намерены сделать во всех возможных случаях в ходе игры. Такой план действий и называется стратегией.
На данном дереве игры Боб, Крис и Деб получают возможность сделать ход максимум один раз; например, Крис будет ходить только в случае, если Энн в качестве первого хода выберет «вперед». Для этих игроков между ходом и стратегией нет разницы. Мы можем определить ход, указав условие, при котором он будет сделан; так, в случае Боба может быть следующая стратегия: «Выбрать 1, если Энн выберет “стоп”». Однако у Энн есть две возможности сделать ход, поэтому ее стратегия требует более полного описания. Одна из стратегий Энн: «Выбрать “стоп”, а если Боб выберет 1, выбрать “вниз”».
В более сложных играх, таких как шахматы, где есть длинные последовательности ходов с большим количеством вариантов выбора в каждой, описание стратегий усложняется; мы обсудим данный аспект более подробно далее в этой главе. Однако общий принцип построения стратегий достаточно прост, за исключением одной особенности. Если Энн выберет «вперед» на первом ходе, она так и не получит шанса сделать второй ход. Следует ли в стратегии, согласно которой она выбирает «вперед», указывать то, что Энн сделала бы в гипотетическом случае, если бы каким-то образом оказалась в узле своего второго действия? Возможно, ваша интуиция скажет «нет», но формальная теория игр говорит «да» по двум причинам.
Во-первых, выбор Энн варианта «вперед» в качестве первого хода может зависеть от ее рассуждений о том, что ей пришлось бы сделать на втором ходе, если бы она изначально предпочла вариант «стоп». Например, тогда Боб мог бы выбрать 1, и Энн получила бы второй ход, а ее лучшим выбором стал бы вариант «вверх», обеспечивающий ей выигрыш 2. Если Энн для первого хода выберет «вперед», Крис выберет вариант «безопасно» (поскольку его выигрыш 3 в случае варианта «безопасно» больше, чем ожидаемый выигрыш от варианта «рискованно»), и такой исход игры обеспечит Энн выигрыш 3. Для того чтобы процесс размышлений был понятнее, можно сформулировать стратегию Энн так: «Выбрать “вперед” на первом ходе и выбрать “вверх”, если появится возможность походить еще раз».
Вторая причина для такого, казалось бы, педантичного описания стратегий имеет отношение к устойчивости равновесия. При анализе устойчивости мы спрашиваем, что бы произошло, если бы выбор игроков был подвержен влиянию небольших помех, среди которых и мелкие ошибки самих игроков. Скажем, если бы выбор нужно было делать посредством
