Замечательно, конечно, говорить людям: «Заткнитесь и считайте», но вопрос в том, что именно им следует считать. По крайней мере, в квантовых вычислениях (моя специальность) то, что мы любим считать, – емкость квантовых каналов, вероятности ошибок в квантовых алгоритмах – это такие вещи, которые никому в голову не пришло бы считать, если бы не философия.
2. Множества
Здесь мы будем говорить о множествах. Что будут содержать эти множества? Другие множества! Как куча картонных коробок, открыв которые, обнаруживаешь внутри только новые картонные коробки, и так далее, до самого дна.
Вы можете спросить: «Какое отношение все это имеет к книге о квантовых вычислениях?»
Ну, будем надеяться, что кое-какие ответы на этот вопрос мы увидим чуть позже. Пока же достаточно сказать, что математика есть основа всякой человеческой мысли, а теория множеств – счетных, несчетных и др. – основа математики. Так что неважно, о чем у нас книга, в любом случае множества – прекрасная тема для начала.
Мне, вероятно, следует без обиняков сказать вам, что я собираюсь втиснуть весь курс математики в эту одну главу. С одной стороны, это означает, что я не рассчитываю всерьез, что вы все поймете. С другой стороны, в той мере, в какой поймете, – замечательно! Вы получаете целый курс математики в одной главе! Добро пожаловать.
Итак, начнем с пустого множества и посмотрим, как далеко нам удастся пройти.
Пустое множество
Вопросы есть?
На самом деле, прежде чем говорить о множествах, нам необходимо обзавестись языком для разговора о множествах. Язык, который придумали для этого Фреге, Рассел и другие, называется логикой первого порядка. Он включает в себя булевы функции (и, или, не), знак равенства, скобки, переменные, предикаты, кванторы («существует» и «для любого»[10]) – и, пожалуй, все. Говорят, что физики испытывают со всем этим сложности… Эй, потише, я просто пошутил. Если вы прежде не встречались с таким способом мышления, значит, не встречались, ничего страшного в этом нет. Но давайте все же пойдем навстречу физикам и пробежимся по основным правилам логики.
Правила логики первого порядка
Все правила здесь говорят о том, как составлять предложения, чтобы они были корректны – что, говоря по-простому, означает «тавтологически истинны» (верны для всех возможных подстановок переменных)[11], но что мы пока можем представить просто как комбинаторное свойство определенных символьных строк. Я буду печатать логические предложения другим шрифтом, чтобы их было легко отличить от окружающего текста.
• Пропозициональные тавтологии: A или не A, не (A и не A) и т. п. – истинны.
• Modus ponens (правило отделения): если A истинно и из A следует B истинно, то B истинно.
• Правила равенства: высказывания x = x; из x = y следует y = x; если x = y
У автора – «для всех» (for all). –
Упрощая, автор использует далее как синонимы слова valid, которое описывает корректность (выводимость) логической формулы, и true, характеризующее истинность конкретного высказывания. –
