1.24. На рынке имеются казначейские облигации с полугодовыми купонами номиналом 100 долл. со следующими данными:
Выясним, как можно построить кривую спот-ставок в данной ситуации.
1. 6-месячную спот-ставку можно найти с помощью первой облигации. Так как должно выполняться равенство
2. Спот-ставку на год можно определить по второй облигации из нашего списка:
3. Спот-ставку на 1,5 года будем искать с помощью третьей облигации, зная уже найденные спот-ставки r1 и r2.
Так как цена облигации должна совпадать с приведенной стоимостью потока платежей от этой облигации, то
Следовательно, r3 = 0,0893.
4. Спот-ставку r4 найдем с помощью линейной интерполяции:
Тогда должно выполняться следующее равенство:
т. е. мы имеем уравнение с одним неизвестным. Решив это уравнение методом проб и ошибок, получим, что r5 = 0,0948. Тогда
В данном случае кривая спот-ставок имеет нормальный вид (рис. 1.8).
В развитых финансовых системах государственные облигации считаются безрисковыми, а все остальные облигации принято с ними сравнивать. Для сравнения облигаций, выпущенных негосударственными эмитентами, с государственными облигациями можно использовать показатель, называемый спредом нулевой волатильности.
Спредом нулевой волатильности (zero-volatility spread) называют такую надбавку к спот-ставкам, при которой приведенная стоимость потока платежей от облигации совпадает с ее рыночной ценой.
Спред нулевой волатильности удовлетворяет следующему уравнению:
где Р – котируемая цена облигации с полугодовыми купонами;
q – полугодовой купонный платеж;
А – номинальная стоимость облигации;
n – число купонных платежей, остающихся до погашения облигации;
ri – спот-ставка на i полугодовых периодов, i = 1, 2, …, n.
Пример 1.25. Дана 10 %-ная корпоративная облигация с полугодовыми купонами номиналом 1000 долл., когда до ее погашения остается 3 года. Определим спред нулевой волатильности, если облигация продается за 1002,75 долл., а спот-ставки на 0,5, 1, 1,5, 2, 2,5 и 3 года соответственно равны 6, 6, 7, 7, 8 и 8 %.
Решив уравнение
найдем, что х = 0,02. Таким образом, в данном случае спред нулевой волатильности составляет 200 базисных пунктов.
Замечание. Для сравнения краткосрочных облигаций можно использовать разницу между доходностями к погашению. Однако для долгосрочных облигаций спред нулевой волатильности дает более точную оценку.
1.10. Предполагаемые форвардные ставки
Если известна кривая рыночных доходностей, можно найти предполагаемые форвардные ставки.
Предполагаемая форвардная ставка (implied forward rate) через n полугодовых
