сусіднє місто Сибарис.
Для історії науки важливо те, що піфагорійці також виплекали пристрасть до математики. Згідно з «Метафізикою» Арістотеля, «піфагорійці, як їх називають, присвятили себе математиці: вони стали першими, хто просував це вчення, і, зростаючи в ньому, вони вважали його принципи принципами всього у світі»2.
Їхнє захоплення математикою, можливо, було наслідком спостереження за музикою. Вони помітили: коли на якомусь струнному інструменті щипнути одночасно дві струни однакової товщини, складу та натягу, то звук буде приємним, якщо довжини цих струн порівнянні між собою як малі цілі числа. У найпростішому випадку одна струна чітко вполовину коротша за іншу. Сучасною мовою: звуки цих двох струн розділяє октава, і ми позначаємо породжені ними звуки однаковою літерою алфавіту. Якщо одна струна на дві третини коротша за іншу, то породжені ними дві ноти утворюють «квінту» – особливо приємне суголосся. Якщо одна струна на три чверті коротша за іншу, то вони породжують приємне суголосся під назвою «кварта». Натомість якщо довжини двох струн не порівнянні між собою як малі цілі числа (наприклад, якщо одна струна, скажімо, у 100 000/314 159 раза коротша за іншу) або не порівнянні між собою як цілі числа взагалі, тоді звук буде різким і неприємним. Сьогодні ми знаємо, що для того є дві причини: урегулювання періодичності звуку, породженого двома струнами за одночасної гри, та узгодження обертонів, породжених кожною струною (див. технічну примітку 3). Нічого з цього не розуміли ані піфагорійці, ані фактично ніхто інший, поки аж у XVII столітті не з’явилася робота французького священика Марена Мерсенна. Замість цього, за словами Арістотеля, піфагорійці вважали «все небо музичною шкалою»3. Ця ідея проіснувала ще довго. Наприклад, Цицерон у своєму творі «Про державу» розповідає історію, у якій привид видатного римського генерала Сципіона Африканського знайомить свого онука з музикою сфер.
Найбільшого прогресу піфагорійці досягли радше в математиці, ніж у фізиці. Усім відома теорема Піфагора про те, що площа квадрата, стороною якого є гіпотенуза прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ двох квадратів, сторони яких є двома катетами цього трикутника. Але невідомо, хто з піфагорійців довів цю теорему (якщо це взагалі було) і як. Просте її доведення можна вивести з теорії пропорцій, яку запропонував піфагорієць Архіт Тарентський, сучасник Платона (див. технічну примітку 4). Складніше доведення представлене як припущення 46 Книги І «Начал» Евкліда. Архіт також розв’язав відому проблему: як, маючи куб, за допомогою суто геометричних методів побудувати інший куб точно вдвічі більшого об’єму.
Теорема Піфагора привела безпосередньо до іншого великого відкриття: геометричні побудови можуть включати в себе довжину, яку не можна виразити як відношення цілих чисел. Якщо кожна із двох сторін прямокутного трикутника, прилеглих до прямого кута, має довжину (у будь-яких одиницях вимірювання), що дорівнює 1, тоді
