style="font-size:15px;"> Nie ulegało wątpliwości, że ich odpowiedź była bliższa prawdy niż nasza. Wygrali. Jeszcze przez kilka minut mieliłem w głowie przeprowadzone obliczenia, ale nie dało się im nic zarzucić. Matematyka nie pozostawiała wątpliwości.
Czy nie uważasz jednak, że było w tej sytuacji coś niesprawiedliwego? Być może uznasz, że nie umiem przegrywać – trudno – ale czy nie wydaje ci się, że mimo formalnego rezultatu odejmowania nasza odpowiedź była właściwsza, bardziej przemyślana i, w pewnym sensie, mniej niepoprawna niż odpowiedź przeciwnej drużyny?
Dlaczego w takim razie matematyka zdaje się twierdzić co innego? Dlaczego obliczenia wskazują na odpowiedź, która wyraźnie przeczy zdrowemu rozsądkowi?
Być może należałoby schować dumę do kieszeni i przeformułować pytanie: czy aby na pewno rozumiemy matematykę, której używamy? Matematyka się nie myli, to ludzie niewłaściwie się nią czasami posługują.
Jeżeli się zastanowić, można wyobrazić sobie wiele podobnych sytuacji. Kot ma średnio 25 cm wzrostu, a przeciętny labrador 60 cm. Niektóre bakterie mierzą 0,001 milimetra. Można by zatem stwierdzić, że pod względem rozmiarów kotu jest bliżej do bakterii niż do labradora. Między kotem a bakterią różnica wynosi bowiem 25 cm, podczas gdy kota od psa dzieli 35 cm.
Raz jeszcze werdykt liczb jest sprzeczny z naszą naturalną percepcją rzeczywistości. Kot i pies należą do tego samego świata. Mogą się razem bawić, a przynajmniej reagować na siebie. Wzajemnie się widzą i wyczuwają, jeden ma świadomość istnienia drugiego. Tymczasem kot, o ile nie studiował biologii, nie ma zielonego pojęcia o istnieniu bakterii. Nie należą one do jego świata, są tak maleńkie, że ani ich nie widzi, ani sobie ich nawet nie wyobraża.
Rozumując w ten sposób, moglibyśmy mnożyć przykłady, jedne bardziej irracjonalne od drugich, a mimo wszystko poprawne pod względem matematycznym. Temperatura na powierzchni Słońca jest bliższa 5°C niż 15 000°C. Paryżowi, pod względem populacji, jest bliżej do wioski zamieszkałej przez 12 osób niż do Nowego Jorku. Masa Marsa jest bliższa masy piłeczki pingpongowej niż Ziemi.
Jeżeli takie postawienie sprawy przeczy zdrowemu rozsądkowi, to dlatego, że tak jak w przypadku prawa Benforda, robimy błąd myślowy. Dlatego że korzystamy z narzędzi matematycznych, których nie rozumiemy w pełni, w sytuacji, do której nie są one przystosowane.
Jak zatem przełożyć nasze intuicyjne refleksje na język matematyczny? Odpowiedź kryje się w subtelnym pojęciu rzędu wielkości.
Podstawowe założenie jest proste, ale piorunująco skuteczne. Myśleć rzędem wielkości to myśleć raczej systemem mnożącym niż sumującym.
Jeżeli chcesz porównać liczby 2 i 10, możesz to zrobić na dwa różne sposoby. Addytywnie: ile trzeba dodać do 2, żeby otrzymać 10? Wówczas odpowiedź brzmi: 8. Multiplikatywnie: przez ile należy pomnożyć 2, żeby otrzymać 10? Wówczas odpowiedź brzmi: 5. Różnicę addytywną między dwiema liczbami otrzymuje się poprzez odejmowanie: 10–2 = 8. Różnicę multiplikatywną otrzymuje się poprzez dzielenie: 10 ÷ 2 = 5.
Powiedzieć o dwóch wartościach, że należą do tego samego rzędu wielkości, to stwierdzić, że są sobie bliskie z multiplikatywnego punktu widzenia.
Ta idea na pierwszy rzut oka może ci się wydać cudaczna, ale jeśli zaczniesz myśleć systemem mnożącym, szybko zdasz sobie sprawę, że w wielu codziennych sytuacjach takie podejście jest o wiele bardziej zgodne z naszą intuicją.
Wróćmy do naszego quizu. Gdybym miał wtedy więcej oleju w głowie, oto jak mógłbym odwołać się od werdyktu. Księżyc dzieli od Ziemi odległość 384 000 kilometrów, a nasza drużyna odpowiedziała, że 800 000, czyli przeszacowała mniej więcej dwukrotnie. Jeżeli zrobić dzielenie, okaże się, że podaliśmy liczbę dokładnie 2,08 razy większą od poprawnej. Nasi przeciwnicy odpowiedzieli, że 10 km, czyli podali liczbę 38 400 razy mniejszą! Przyjmując tę perspektywę, to my byliśmy bliżej prawdy, i to znacznie. Taki wynik jest dużo bardziej zgodny z naszą intuicją.
To samo dotyczy wszystkich wcześniejszych przykładów. Pod względem multiplikatywnym rozmiar kota jest bliższy rozmiarów psa niż bakterii, masa Marsa bliższa masy Ziemi niż piłeczki pingpongowej, populacja Paryża bliższa populacji Nowego Jorku niż maleńkiej wioski i tak dalej.
Porównując dwie liczby opisujące dowolną kategorię, w większości przypadków spontanicznie będziemy myśleć w sposób multiplikatywny. Jeżeli twój sklep podniesie o 8 zł cenę produktu kosztującego 200 zł, podwyżka prawdopodobnie cię wkurzy, ale znacznie mniej, niż gdyby market dołożył te same 8 zł do ceny produktu kosztującego 2 zł. W drugim przypadku cena podskoczy do 10 zł, czyli wzrośnie pięciokrotnie. Toż to rozbój w biały dzień! A przecież podwyżka jest identyczna.
Taki tryb porównywania nie ogranicza się wyłącznie do sfery umysłu. Nie jest to właściwość stricte intelektualna, lecz także cielesna, reguluje większość interakcji, jakie mogą zachodzić między nami a światem. Zmysły, za pomocą których odbieramy otaczający nas świat, także zdają się funkcjonować w trybie multiplikatywnym.
Gdybym zasłonił ci oczy opaską i do jednej ręki włożył przedmiot ważący 10 g, a do drugiej przedmiot ważący 20 g, bez trudu wskazałbyś ten cięższy. Gdybyś jednak musiał podnieść ciało o masie 10 kg i ciało o masie 10 kg i 10 g, byłoby ci zdecydowanie trudniej odróżnić je od siebie. A przecież różnica jest identyczna: 10 g. Ale jeśli się temu przyjrzeć, identyczna jest jedynie różnica addytywna, bo z multiplikatywnego punktu widzenia zmiana jest ogromna: przechodząc od 10 g do 20 g, podwajamy wartość. Tymczasem w drugim przypadku różnica między obydwoma masami ciał wynosi zaledwie 0,1 %.
Podobnie jest z naszym wzrokiem. Włączałeś kiedyś światło za dnia? Gdy pomieszczenie jest zalane słońcem, naciśnięcie przycisku prawie niczego nie zmienia. Wydaje się, że w pokoju jest tak samo jasno bez względu na to, czy żarówka świeci, czy nie. Gdy jednak naciśniesz włącznik po zmroku, ciemność się rozproszy, a światło wypełni całe pomieszczenie. Dzięki temu zobaczymy wyraźnie to, co jeszcze przed chwilą kryło się w półmroku.
A przecież żarówka sufitowa nie wytwarza mniej światła za dnia niż w nocy. W obydwu przypadkach emituje tyle samo promieni świetlnych. To oznacza, że z addytywnego punktu widzenia rozbieżność w natężeniu światła jest w jednej i drugiej sytuacji identyczna. Ale nasze oczy nie dostrzegają rozbieżności addytywnej, tylko rozbieżność względną, czyli multiplikatywną. Za dnia jasność żarówki blednie w porównaniu z jasnością Słońca. W nocy zaś to żarówka wiedzie prym.
Zrób przegląd swoich zmysłów: dotyk, wzrok, smak, słuch, powonienie. Przyjrzyj się także swojej percepcji upływającego czasu, pokonywanych odległości oraz, bardziej subiektywnie, intensywności doświadczanych emocji. O wiele łatwiej oswoić się z tymi wszystkimi napastliwymi bodźcami zmysłowymi, gdy postrzega się je raczej multiplikatywnie niż addytywnie.
Nasze wrodzone poczucie liczb
Abyś mógł sprawdzić swoją intuicję liczbową, zrób proste doświadczenie. Przyjrzyj się poniższej linii, na której umieszczono dwie liczby: tysiąc i miliard.
Teraz
