nim mózgi gatunków innych niż Homo sapiens.
Sporo zwierząt ma naturalny zmysł ilości. Choćby po to, by móc oszacować wielkość zapasów czy liczebność zagrażających zwierzętom drapieżników. Zmysł ten, w porównaniu z tym, którym mogą się szczycić ludzie, pozostaje niedokładny i ograniczony, ale bynajmniej nie jest z tego powodu mniej zaskakujący.
W przypadku zwierząt sposób zaplanowania doświadczeń, jak i interpretacja otrzymanych rezultatów wymagają znacznej subtelności i ostrożnej analizy. Nie da się bezpośrednio porozumieć z końmi, ptakami czy szympansami, wyjaśnić im w szczegółach, na czym będzie polegało doświadczenie, ani sprawić, by zrozumiały cel wykonywanych czynności. A jednak fakty są uderzające i zdają się dowodzić, że niektóre zwierzęta także postrzegają liczby multiplikatywnie.
Oto przykład doświadczenia, które przeprowadzono z udziałem szczurów. Badacze umieścili kilka osobników w klatkach wyposażonych w dwie dźwignie. Następnie regularnie odtwarzali zwierzętom serie sygnałów dźwiękowych, obejmujących albo dwa, albo osiem odgłosów. Gdy rozlegały się dwa sygnały, szczury dostawały pożywienie, o ile nacisnęły pierwszą dźwignię. Gdy rozbrzmiewało osiem dźwięków, wówczas to druga dźwignia gwarantowała zdobycie pokarmu. Po pewnym okresie nauki gryzonie przyswoiły sobie przyjętą przez naukowców zasadę i naciskały odpowiednią dźwignię w zależności od liczby sygnałów.
Kiedy szczury nauczyły się już obsługi dźwigni, można było rozpocząć właściwe doświadczenie. Co się dzieje, gdy wytrenowane gryzonie słyszą liczbę dźwięków inną niż dwa albo osiem? Przy trzech sygnałach, po bardzo krótkim wahaniu szczury idą do pierwszej dźwigni, tak jak w przypadku dwóch dźwięków. Przy pięciu, sześciu lub siedmiu sygnałach kierują się raczej do drugiej dźwigni, jak w przypadku ośmiu dźwięków. Natomiast przy czterech dźwiękach następuje kompletna dezorientacja! Połowa badanych szczurów niepewnie drepcze w kierunku pierwszej dźwigni, reszta zaś zmierza ostrożnie ku drugiej. Tak jakby dla szczurów liczba cztery leżała w połowie drogi między dwa a osiem, co sprawia, że wybór dźwigni staje się całkowicie losowy.
Na pewno spodziewasz się już następującej konkluzji: z multiplikatywnego punktu widzenia 4 leży dokładnie pośrodku między 2 i 8. Gdyby szczury myślały addytywnie, to 5 powinno wzbudzać ich wątpliwości. A jednak z równowagi wytrąca je 4.
Identyczne doświadczenia zostały przeprowadzone przy użyciu innych liczb niż 2 i 8 oraz z udziałem innych zwierząt niż szczury. Fakt, trudno domyślać się, co dokładnie dzieje się w głowach tych małych stworzeń, a wyniki badań nie przynoszą jednoznacznych odpowiedzi. Pewne jest jednak, że za każdym razem wahanie pojawia się raczej w okolicach środka multiplikatywnego niż addytywnego.
Bez względu na to, jak daleko zapuszczamy się w głąb mózgu ku źródłom naszego pojmowania liczb, nieodwołalnie dochodzimy do tej samej prawdy: nasz pierwotny zmysł ilości wydaje się fundamentalnie i naturalnie multiplikatywny.
A przecież jest jasne, że żaden mózg człowieczy czy zwierzęcy bez odpowiedniego przygotowania nie potrafi przeprowadzić dokładnych obliczeń, pozwalających mu udzielić odpowiedzi na tego rodzaju pytania. Myślenie multiplikatywne nie jest ani świadome, ani precyzyjne. Jego wyniki są spontaniczne i intuicyjne, trochę jak wtedy, gdy w pierwszym odruchu umieściłeś milion w połowie drogi między tysiącem a miliardem. Nie dowodzą one żadnej wiedzy matematycznej, są tylko świadectwem istnienia najwyraźniej wrodzonego mechanizmu myślowego, w który wszyscy zostajemy wyposażeni na wczesnym etapie rozwoju i który generuje pierwsze, w przybliżeniu multiplikatywne intuicje dotyczące liczb.
Podobne testy, przeprowadzone na dorosłych Amerykanach, pozwoliły jasno stwierdzić, że intuicja multiplikatywna zanika w miarę nabywania wiedzy szkolnej i matematycznej. W odniesieniu do liczb od 1 do 10 dorośli ściśle przestrzegają skali addytywnej. Jednak instynkt multiplikatywny nie obumiera całkowicie, stopniowo daje o sobie znać przy okazji wielkich liczb, z którymi jesteśmy mniej oswojeni.
Liczenie addytywne nie jest więc tak instynktowne, jak mogłoby się wydawać. W końcu jest to tylko nawyk, jaki wyrabia się w nas w dzieciństwie. W swoim artykule z 1938 roku Frank Benford pisze: „Jesteśmy tak bardzo przyzwyczajeni do numerowania rzeczy 1, 2, 3, 4… i do twierdzenia, że są one ułożone według naturalnego porządku, iż niełatwo nam zaakceptować pomysł, by to ciąg 1, 2, 4, 8… był naturalnym porządkiem”.
Być może tobie również trudno jeszcze przyjąć to do wiadomości. Niełatwo jest zapomnieć o skali addytywnej, skoro przez tyle lat kształtowała umysł. Jeżeli znajdujesz się w grupie osób, którym sprawia to kłopot, nie przejmuj się, przeczytaj jeszcze kilka stron, wrzuć na luz i daj się ponieść. Przekonasz się, że odkrywanie, a raczej powracanie do nowego sposobu myślenia, jest niesamowicie ekscytujące.
Rodzi się jednak pewne pytanie: skoro nasza intuicja jest multiplikatywna i skoro jest ona bardziej dostosowana do oglądu otaczającego nas świata, dlaczego tak usilnie staramy się ją usunąć z naszego sposobu rozumowania? Po co na siłę wtłaczać tam mniej zgodny z rzeczywistością system addytywny? Czy nie jest tak, że szkolna matematyka stłumiła w nas poprawne myślenie zdroworozsądkowe, by zastąpić je sztucznym i nieadekwatnym?
Czy mamy zrezygnować z dodawania?
Odpowiedź brzmi: nie. Myślenie addytywne samo w sobie nie jest bezużyteczne. W wielu sytuacjach jest nawet szalenie przydatne. Następnym razem, gdy przyjdzie ci płacić za zakupy w kasie supermarketu, przypuszczalnie ucieszysz się, że kwota na paragonie nie będzie efektem mnożenia. Prawdopodobnie zresztą nie muszę cię przekonywać, że mimo wszystkiego, o czym tu była mowa, dodawanie i odejmowanie pozostają – a jakże – integralną częścią naszej codzienności. W mniejszym stopniu, niż ci się wydawało, ale jednak.
Co więcej, nawet mnożenie nie może się obejść bez dodawania. Bo choć nasza intuicja jest zasadniczo multiplikatywna, nie oznacza to, że matematykę multiplikatywną łatwiej zrozumieć. Bez nauki matematyki nie da się rozwinąć owej pierwotnej myśli tak, by mogła ukazać cały swój potencjał. Dlatego aby zgłębić pojęcie mnożenia, koniecznie należy dobrze opanować pojęcie dodawania.
No dobrze, ale koniec końców, jaki jest najlepszy sposób porównania dwóch liczb?
Nie ma absolutnej i definitywnej odpowiedzi na to pytanie. O wszystkim decyduje kontekst. A czasem wybór bywa trudny. Zdarzają się sytuacje niejednoznaczne i pośrednie, uniemożliwiające dokonanie najlepszego wyboru. Dodawanie i mnożenie są po prostu dwoma – różnymi, ale uzupełniającymi się – sposobami postrzegania liczb.
Takie stwierdzenie można by uznać za porażkę. Czyż matematyka nie powinna dawać precyzyjnych i ostatecznych odpowiedzi? Jak to możliwe, by nauka ścisła pozwalała sobie na „to zależy”? Za tym pozornym paradoksem kryje się kreatywna dwuznaczność matematyki. Jest ona usiana owymi „to zależy” po horyzont. Właśnie one czynią z niej cudowną przestrzeń wolności i innowacyjności. Matematyka niejedno ma imię, jest wielobarwna, relatywna. I bardzo dobrze.
Zaakceptowanie oraz umiejętne posługiwanie się tą względnością jest niewyczerpanym źródłem radosnych odkryć i kreatywności. Matematyka oferuje tysiące różnych narzędzi do analizy tego samego problemu. Owe narzędzia są jak klawisze pianina. Ich poznanie to solfeż, granie na nich to sztuka. Pytanie, czy lepiej porównywać dwie liczby za pomocą dodawania czy mnożenia, to jak zastanawianie się, czy lepiej komponować w G-dur czy w a-moll. Wybór należy do ciebie. Być może nie zawsze będzie najtrafniejszy, ale to nieistotne.
