заработок (который рассчитывается как среднее арифметическое), а также публикует медианные заработки, предоставляемые местными органами. Это позволяет отличить «средний доход» (среднее арифметическое) от «дохода среднего человека» (медиана). Цены на дома имеют крайне асимметричное распределение с длинным правым хвостом элитной недвижимости, поэтому официальные индексы для цен на жилье указываются в виде медианных значений. Однако обычно пишут о «цене в среднем», что является весьма неоднозначным термином. Это «цена среднего дома» (то есть медиана)? Или «средняя цена дома» (то есть среднее арифметическое)? Как видите, перестановка слов имеет большое значение.
А теперь пришло время обнародовать результаты нашего эксперимента с мудростью толпы; может, он не такой захватывающий, как определение веса быка, зато с чуть большим количеством голосов, чем у Гальтона.
Из-за наличия длинного правого хвоста среднее арифметическое 2408 было бы плохой оценкой, а мода (чаще других названное значение) 10 000, похоже, отражает склонность людей выбирать круглые числа. Поэтому предпочтительнее последовать примеру Гальтона и использовать в качестве общей оценки медиану. Она равна 1775, хотя на самом деле в банке находилось 1616 драже[46]. Правильно это число угадал только один человек, 45 % дали оценки ниже этого значения, а 55 % – выше. Поэтому наблюдается небольшая асимметрия, и мы говорим, что истинное значение находится на 45-м процентиле[47]. Медиана, которая является 50-м процентилем, дала избыточную оценку: 1775–1616 = 159 и оказалась примерно на 10 % больше правильного ответа. Только каждый десятый человек указывал оценку лучше, чем полученное медианное значение. Таким образом, мудрость толпы оказалась вполне на уровне, а именно гораздо ближе к истине, чем 90 % отдельных людей.
Разброс распределения данных
Свести распределение к единственному числу недостаточно – нужно иметь представление о разбросе данных (рассеивании, отклонении от среднего). Например, знание среднего размера обуви взрослого мужчины никак не поможет обувной фабрике определить, сколько пар обуви каждого размера производить. Один размер не годится для всех, что прекрасно иллюстрируют пассажирские кресла в самолетах.
В табл. 2.1 приведены статистические данные для выборки по драже. Она предлагает три способа демонстрации разброса. Естественный вариант – размах[48], однако он крайне чувствителен к экстремальным значениям, таким как весьма странное предположение о наличии в банке 31 337 драже[49]. Напротив, на интерквартильный размах такие выбросы не очень влияют. Интерквартильный размах – это разность между третьим и первым квартилем (то есть 75-м и 25-м процентилем); иными словами, сюда входит «центральная половина» всех чисел, в нашем случае – от 1109 до 2599 драже. Ящик на диаграмме типа «ящик с усами» как раз и включает интерквартильный размах. Наконец, в качестве меры разброса широко используется стандартное (среднеквадратичное)
В ролике о нашем эксперименте (https://www.youtube.com/watch?v=n98BhnwWmsc) я принудительно убрал 33 максимальных числа (9999 и выше), взял логарифм для получения симметричного распределения, вычислил среднее арифметическое для такого преобразованного распределения, а затем произвел обратное преобразование, чтобы получить оценку в первоначальном масштабе. Это дало число 1680, которое оказалось самой близкой оценкой к истинному значению 1616. Описанный процесс (взять логарифм, вычислить среднее арифметическое, вернуться обратно) дает то, что известно как среднее геометрическое. Это эквивалентно такой процедуре: перемножить все N чисел и извлечь корень N-й степени. Среднее геометрическое используется при создании некоторых экономических индексов, в частности основанных на отношениях. Причина в том, что у него есть «устойчивость к переворачиванию отношения»: если стоимость апельсинов измерять в килограммах на апельсин или в апельсинах на килограмм, то это даст одно и то же геометрическое среднее. В то же время среднее арифметическое может давать большой разброс.
Если не вдаваться в тонкости, то N-й процентиль – значение, которое не превышает N% наблюдений. 25-й процентиль называют первым квартилем, 50-й процентиль – вторым квартилем (или медианой), 75-й процентиль – третьим квартилем. В общем случае, когда доля наблюдений не превосходит числа α, то говорят об α-квантиле.
Размах – это разность между наибольшим и наименьшим значением в выборке. Впрочем, у автора в таблице указываются только границы диапазона – как для размаха, так и для интерквартильного размаха.
Почти наверняка это опечатка при наборе числа 1137, которое является числовым изображением слова leet, что на сетевом сленге означает «элитный» [Leet – это язык интернета, где латинские буквы заменяются похожими символами.
