1.1), los algoritmos respectivos incluyen de manera clara el procedimiento para asignar el valor a la variable x en cada iteración.
De acuerdo con la tabla 1.1, en cada iteración el resultado se va acercando al valor deseado, lo cual se evidencia con la disminución del %error en cada iteración. Cuando ello ocurre, se puede afirmar que el procedimiento, el método o la estrategia utilizados convergen a la solución numérica. Cuando no ocurre, es decir, cuando al aumentar el número de iteraciones no se logra una aproximación al resultado real, se dice que el método o procedimiento no converge. Entre diferentes métodos, algoritmos o estrategias que convergen a la solución, aquel que lo consigue más rápido (en menor cantidad de iteraciones) se dice que es más estable que los otros con los cuales se está comparando.
Hay situaciones en las cuales al incrementar el número de iteraciones el error relativo se hace muy pequeño y tiende a cero, pero, aun así, el error absoluto tiende a ser constante (pero diferente de cero); es decir, aunque se aumente el número de iteraciones o cálculos, no se logra mejorar la precisión del resultado. En esos casos, la diferencia entre el resultado obtenido y el resultado real o esperado se conoce como error del método. En algunos textos también se menciona un error de truncamiento, que hace alusión al caso cuando la formulación matemática que describe el problema no representa fielmente el fenómeno físico que se desea solucionar.
1.3 Dominio de interés y discretización
Considere una variable x que representa una magnitud física (por ejemplo, una distancia) y que según un problema o modelo matemático específico se encuentra acotada para un intervalo definido o dominio de interés (por ejemplo [1 ≤ x ≤ 10]). En un lenguaje matemático estricto, específicamente en el cálculo infinitesimal, la variable x puede tomar infinitos valores, pese a estar restringida dentro de un dominio de interés.
Igualmente, si existe una función y que dependa de la variable x, es decir, que se pueda expresar como y = F(x), esta también puede tomar infinitos valores, cada vez que se evalúe en un x diferente. Cuando matemáticamente se puede calcular y para cualquier valor de x dentro de su dominio, sin que se presenten interrupciones, saltos ni indeterminaciones en los valores que puede tomar y, se dice que la función es continua en todo el intervalo.
En el campo de los métodos numéricos, y para muchas situaciones en el ámbito de la ingeniería, no es necesario conocer o calcular todos los valores posibles que pueda tomar la variable y (que de hecho son infinitos), sino que se puede tomar, utilizar o asumir una tendencia o una representación de la función a partir de un número finito de valores.
Para ello se discretiza el dominio de la variable x seleccionando un número finito de puntos. Al evaluar la función y en cada uno de ellos, se podrá observar que mientras más puntos se evalúen, habrá mayor certeza de que la representación aproximada (a partir de puntos finitos) coincide con la función continua que se obtendría con un número infinito de puntos. No obstante, puede haber situaciones para las cuales sea posible obtener una muy buena representación de la función a partir de la evaluación en unos pocos puntos. Por ejemplo, si la función tiene un comportamiento lineal, dos puntos serían suficientes para representar el comportamiento de la función a lo largo de todo el dominio de interés.
Por otro lado, independiente de la naturaleza, forma o trayectoria de la función, si se toman dos puntos consecutivos para x dentro de su dominio y la distancia que los separa es pequeña, el tramo de la función evaluada en esos dos puntos puede aproximarse a un comportamiento lineal.
A manera de ejemplo, en la figura 1.1 se muestran algunas aproximaciones a la función
En el cálculo infinitesimal, el gráfico de la función dentro de todo su intervalo corresponde a una semicircunferencia de radio = 1. En las matemáticas discretas, se debe asignar una cantidad finita de valores a la variable x dentro del intervalo dado. Mientras mayor cantidad de puntos se evalúen, habrá una mejor representación de la función original a partir de la suposición de tramos rectos entre cada dos puntos consecutivos de la función.
Figura 1.1 Representación gráfica de la función
Ejercicios
Ejercicio 1.1 Responda las siguientes preguntas en el contexto de los métodos numéricos.
1 ¿Qué es una “solución analítica”?
2 Explique con sus palabras la diferencia entre una respuesta aproximada y una respuesta exacta a un problema matemático.
3 ¿Cuál es la diferencia entre error de redondeo y error de truncamiento?
4 ¿Que es tolerancia?
5 ¿Cuál es la diferencia entre error relativo y error absoluto?
6 Explique la diferencia entre exactitud y precisión.
7 Defina en sus palabras la diferencia entre convergencia y estabilidad.
Ejercicio 1.2 Resuelva y escriba sus respuestas de la manera más explícita posible.
1 Proponga un algoritmo para determinar la cantidad total de botones que lleva alguno de los asistentes a la clase en sus prendas de vestir. Luego proponga una función para estimar la cantidad total de botones en el salón dependiendo de la cantidad de asistentes.
2 ¿Cuántas cifras decimales considera necesarias para expresar con suficiente precisión la función propuesta en el literal anterior y por qué?
3 ¿Qué tolerancia definiría para la función anterior y por qué?
4 Si hace un conteo manual o exacto de la cantidad de botones y lo estima usando el algoritmo y la función propuestas, ¿cuál es el %error?
Ejercicio 1.3 ¿Cuántos puntos considera que serían necesarios o suficientes para representar con una precisión aceptable las siguientes funciones?
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