он ошибся. Между параболой и линией провисшей цепи имеется различие. Лишь через полвека Иоганном Бернулли, Готфридом Лейбницем и Христианом Гюйгенсом было выведено уравнение «цепной линии». В нём участвует параметр, изменяя который можно получать различные кривые провисания цепи. Возникновению самого названия «цепная линия» мы обязаны Гюйгенсу.
Ученые дали такое определение цепной линии.
Цепная линия – линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжёлая нить или цепь с закреплёнными концами в однородном гравитационном поле.
По этой линии провиснет не только цепь, но и любая другая однородная нерастяжимая нить под действием силы тяжести. Эту кривую вы могли, наблюдать, например, посещая музей, или театр – рис. 16, рис. 17.
Рис. 16. Провисание цепей определяет цепную линию [38]
Рис. 17. Цепная линия в театре [42]
Теперь рассмотрим свойства цепной линии.
Случай 1. Если сила тяжести разная, например, на разных планетах.
Рис 18. Цепная линия при разных параметрах «а», т.е. при разных силах притяжения [39]
В этом случае (рис. 18) форма цепной линии меняется, она становятся более острой для самого малого коэффициента а = 0,5, т.е. для планеты с самым большим притяжением, на крупной планете, и форма становится почти круговой или близкой к полуокружности при большом коэффициента а> 2, когда притяжение малое, планета малая.
Рис. 19. Формы цепных линий при одинаковой силе тяжести, но при разных натяжениях цепи или при разных длинах [40]
Формула цепной линии равного сопротивления (равного притяжения)
y = – 1/b ln cos (bx)
Рис. 20. Цепные линии для разного натяжения
На рис. 20 показаны случаи разного натяжения цепной линии. Каждая кривая соответствует разному значению горизонтальной составляющей силы натяжения T H. {\displaystyle T_ {H}.~}
a = TH/λHa = T H λ H, {\displaystyle a= {\frac {T_ {H}} {\lambda H}},~},λ {\displaystyle \lambda} λ – погонная плотность нити.
Уравнение линии в декартовых координатах:
y = 0,5a (ex/a + e-x/a) = a ch (x/a)
Рис. 21. Разный масштаб цепной линии
На первый взгляд на рис. 21 показаны разные кривые, отличающиеся по форме. На самом деле, это одна и та же кривая – цепная линия, и если увеличить масштаб второй линии в 2 раза, а третьей – в 4, то при наложении на первую, все кривые сольются в одну.
Все три случая, показанные на рис. 19, рис. 20 и рис. 21 – похожие друг на друга. Изменение длины цепи (рис. 19), изменение натяжения нити (рис. 20), изменение масштаба (рис. 21) не меняют главного: силы притяжения и все эти кривые линии могут быть приведены к одной форме за счет масштаба. Таким образом, основополагающим свойством для цепной линии остается сила притяжения, которая и задает форму цепной линии, она становится или острой или более круглой. Такие линии нельзя привести к одному виду, они показаны
