for, hvordan hele violinen, svinger, og hvordan den lyder (se faktaboksen med den matematiske teori). En fyldestgørende teori kræver dog også, at man regner på hvert enkelt lille areal af violinens trækasse, der er i forbindelse med resten af kassen og strengene, og på hvert enkelt lille volumen af luft inde i violinkassen – og selv efter en sådan indsats vil de fleste professionelle musikere næppe være imponerede, da der stadig er lang vej til at forklare, hvordan og hvorfor vi hører og gribes af instrumentets lyde som musik.
Illustration 3 viser en elastisk streng fastgjort i begge ender. Knipser man strengen i den ene ende, vil man sætte strengen i bevægelse, og man kan faktisk mærke, hvordan “knipset” rejser frem og tilbage langs strengen. Foruden udbredelsen af meget komplicerede bevægelser kan strengen også opføre sig meget regulært og for eksempel svinge harmonisk som vist på illustration C), og en dobbelt så hurtig svingning med to bølger er vist på illustration D).
For at kunne benytte Newtons 2. lov til en beregning af en strengs bevægelse er det nødvendigt at indse, at forskellige dele af strengen bevæger sig forskelligt. Vi zoomer derfor ind på et stykke af en tilfældigt anslået streng i illustration E) og spørger os selv, hvordan netop det stykke af strengen vil opføre sig.
Newtons 2. lov gælder helt generelt, og spørgsmålet er, hvilke kræfter der virker på det skraverede stykke. En elastisk streng kan ikke skubbe, men kun trække i et objekt og kun i strengens retning, og jeg har på hver side af det lille stykke indtegnet pile, der angiver kræfterne og deres retninger på grund af trækket fra resten af snoren. De to vandrette komponenter i hver sin retning langs strengen ophæver hinanden, mens der vil være en netto lodret komponent af kraften, der trækker nedad på tegningen. Ifølge både vores intuition og Newtons 2. lov er det derfor den vej, snoren vil accelereres. I faktaboksen beskrives matematikken for den svingende streng.
ILLUSTRATION 3. EN SVINGENDE STRENG
Hvis man i stedet for svingningen af et tov ser på svingninger af luft, hvor lufttrykket varierer som funktion af tid og sted i et rør, kan man benytte en bølgeligning, der til forveksling ligner den i faktaboksen. Her bliver konstanten K lig med kvadratet på lydens hastighed i luft, og de pæne bølgeløsninger, der svarer til illustrationerne C) og D), er grundtonen og den første overtone, for eksempel for lyden i en orgelpibe. Man kan “stramme luften op” ved at erstatte almindelig atmosfærisk luft med en let gas af helium, hvor lyden har højere hastighed, og så bliver frekvenserne højere – som man kan høre i naturprogrammer om havet, når dykkere, der indånder helium, taler som Anders And. For at variere svingningsfrekvensen i musikinstrumenter er det dog mere praktisk at ændre den rumlige svingning, for eksempel ved at gøre instrumentet kortere, så mønstrene i illustration C) og D) bliver stejlere, og bølgeligningen derfor forudsiger højere frekvenser. De dybe toner i et orgel fremkommer, fordi luften dirigeres ud i de lange orgelpiber, mens de høje toner kommer fra de korte. En panfløjte virker på samme måde, mens trækbasunen er bygget til, at musikeren kan ændre rørets længde og dermed styre tonen, og klarinetten og trompeten har klapper og ventiler, der kan åbnes og lukkes, så musikeren kan vælge mellem forskellige bølgemønstre.
Newtons 2. lov for den svingende streng: bølgens ligning
For at sætte tal på en svingende strengs bevægelse er vi nødt til at indføre den matematiske størrelse t, der betegner tiden, og x, der betegner den vandrette strækning langs med strengen. Vi beskriver nu strengens udsving med h(x,t), som til enhver tid og til enhver position langs strengen angiver strengens udsving, målt for eksempel i millimeter. Det lille skraverede stykke streng svarer til en bestemt x-værdi, og kender vi tidsafhængigheden af h(x,t) ved netop denne værdi, ved vi, hvordan dette stykke flytter sig.
Vi bemærker, at hvis kraften er lige stærk og præcis modsat rettet på de to ender af det skraverede stykke, bliver nettokraften nul, og der er ingen acceleration. For at få en kraft er det nødvendigt, at strengens hældning i forhold til vandret varierer hen over det skraverede område: Strengen skal have en krumning.
Nu kommer det måske matematisk vanskeligste sted i denne bog. Vanskeligt, fordi jeg ikke blot vil skrive en ligning op, men fordi jeg vil forsøge at forklare, hvorfor den gælder. Vi skal senere se sværere ligninger, men uden at forklare, hvorfor de gælder, så det bliver meget lettere!
Strengens lokale udsving betegnes med bogstavet h. Lad os indføre strengens hældning eller stejlhed, s = ∂h/∂x. ∂ er en “blød” udgave af bogstavet d og bruges til at angive en ændring, differens, i det efterfølgende udtryk. Brøken giver altså “differensen i h” divideret med “differensen i x”, dvs. variationen af h per strækning. Går vi et skridt videre og ser på ændringen af stejlheden, for eksempel fra at gå opad til at gå nedad, som strengen i illustration E), bestemmes den på samme vis som den matematiske forskel mellem stejlhedens værdier, s, i de to ender af det skraverede stykke, og divideres med stykkets længde finder vi ∂s/∂x, “ændringen i stejlhed per strækning”. Dette skrives også matematisk som ∂2h(x,t)/∂x2, “ændringen i (ændringen af h per strækning) per strækning”, hvor man for at spare plads har sat ∂ “i anden”, ligesom hvis det var et tal, man havde ganget med sig selv. Vi argumenterede oven over faktaboksen for, at kraften er proportional med dette udtryk.
På højre side af Newtons 2. lov står accelerationen. Acceleration betyder ændring af hastighed per tid, ∂v/∂t, hvor hastigheden v er strengstykkets lodrette bevægelse per tid, som derfor selv kan skrives som v = ∂h/∂t. Accelerationen kan derfor skrives ∂2h(x,t)/ ∂t2.
Newtons 2. lov siger derfor, at der gælder proportionalitet imellem de to udtryk:
∂2h(x,t)/∂t2 =K∂2h(x,t)/∂x2
Denne ligning kaldes bølgeligningen, og dens løsninger beskriver alle former for bevægelse af den svingende streng. Konstanten K viser sig netop at være kvadratet på den hastighed, som en forstyrrelse vil udbrede sig med langs med den strakte streng. I praksis afhænger denne hastighed af strengens masse per længde (massen optræder jo direkte i Newtons 2. lov) og strengens stramhed, som afgør, hvor stor en kraft der skal til for at få strengen til at svinge. Hvis strengen strammes op, så K øges, bliver variationen per tid hurtigere, og de regulære svingningsmønstre i illustration C) og D) får højere frekvens, og det er netop sådan, en violinist stemmer sit instrument.
Elektriske og magnetiske kræfter - elektrodynamikken
Foruden tyngdekraften, som får alle massive objekter til at tiltrække hinanden med en given styrke, kender vi i den klassiske fysik også til elektriske og magnetiske kræfter. Elektriske kræfter opleves ved statisk elektricitet, som for eksempel får håret til at stritte og støv og tøj til at “klæbe” til kunststoffer og til rav. Ordet elektrisk kommer fra det græsk ord for rav, ηλεκιρον, elektron. Magnetiske kræfter kender vi fra magneter med mange tekniske anvendelser og som bidrag til “forskønnelsen” af køleskabe i alle hjem med børn. Ordet magnetisk kommer sjovt nok fra den tyrkiske by Magnesia, som i dag hedder Manisa, og hvor man i årtusinder har kendt til forekomster af magnetisk jernmalm.
I 1784 viste den franske fysiker Charles-Augustin de Coulomb gennem eksperimenter, at der imellem to legemer med elektrisk ladning hersker en kraft, som ligesom tyngdekraften aftager med kvadratet på deres indbyrdes afstand, og som er proportional med produktet af de to ladninger. Elektrisk ladning kan være positiv og negativ, og kraften er tiltrækkende for ladninger med modsat fortegn (hvilket ofte får modsatte ladninger til at opsøge hinanden og neutralisere hinanden). Foruden kræfter mellem magneter og mellem en enkelt magnet og et magnetiserbart materiale som jern er der også kræfter mellem magneter og elektriske ladninger i bevægelse. Således viste danskeren Hans
