Les généralités qui suivent se rapportent aux principes, aux méthodes, à la classification, à l'enseignement et à l'histoire des Mathématiques. Nous les avons puisées à bonne source, dans les savants et les penseurs anciens et modernes.
OBJET ET CARACTÈRE DES MATHÉMATIQUES
De quoi s'occupent les mathématiques, si ce n'est de la proportion et de l'ordre?
Aristote.
Je me demandai d'abord ce que tout le monde entendait précisément par ce mot (mathématiques), et pourquoi on regardait comme faisant partie des mathématiques, non seulement l'arithmétique et la géométrie, mais encore l'astronomie, la musique, l'optique, la mécanique et plusieurs autres sciences.
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Il n'est personne, pour peu qu'il ait touché seulement le seuil des écoles, qui ne distingue facilement, parmi les objets qui se présentent à lui, ceux qui se rattachent aux mathématiques, et ceux qui appartiennent aux autres sciences. En réfléchissant à cela, je découvris enfin qu'on ne devrait rapporter aux mathématiques que toutes les choses dans lesquelles on examine l'ordre ou la mesure, et qu'il importe peu que ce soit dans les nombres, les figures, les astres, les sons ou dans tout autre objet qu'on cherche cette mesure.
Descartes.
Les spéculations mathématiques ont pour caractère commun et essentiel de se rattacher à deux idées ou catégories fondamentales: l'idée d'ordre sous laquelle il est permis de ranger... les idées de situation, de configuration, de forme et de combinaison; et l'idée de grandeur qui implique celles de quantité, de proportion et de mesure.
Cournot.
La validité de l'analyse algébrique dépend, non de l'interprétation des symboles employés, mais uniquement des lois de leurs combinaisons... La mathématique abstraite et générale n'a pas seulement pour objet des notions de quantités numériques, géométriques ou mécaniques: elle traite des opérations en elles-mêmes, indépendamment des matières diverses auxquelles elles peuvent être appliquées.
Liard.
Nous sommes donc parvenus maintenant à définir avec exactitude la science mathématique, en lui assignant pour but la mesure indirecte des grandeurs et en disant qu'on s'y propose constamment de déterminer les grandeurs les unes par les autres, d'après les relations précises qui existent entre elles. Cet énoncé, au lieu de donner l'idée d'un art, caractérise immédiatement une véritable science, et la montre sur-le-champ composée d'un immense enchaînement d'opérations intellectuelles qui pourront évidemment devenir très compliquées, à raison de la suite d'intermédiaires qu'il faudra établir entre les quantités inconnues et celles qui comportent une mesure directe... D'après cette définition, l'esprit mathématique consiste à regarder toujours comme liées entre elles, toutes les quantités que peut présenter un phénomène quelconque, dans la vue de les déduire les unes des autres.
Aug. Comte.
À propos de cette citation, Hoppe, de Berlin, fait remarquer qu'il s'agit aussi en Mathématiques de l'équivalence des opérations.
La définition la plus généralement reçue des mathématiques est celle-ci: les mathématiques sont la science des grandeurs. Cette définition est vraie au fond, mais elle est superficielle et demande explication.
De quelles grandeurs s'agit-il en mathématiques? Est-ce de toute grandeur en général? Non, car alors tout serait objet des mathématiques, puisque tout est grandeur, si du moins on se contente de définir la grandeur comme on le fait d'ordinaire: «ce qui est susceptible d'augmentation ou de diminution;» car cela s'applique à tout; une chose peut être plus ou moins belle, une action plus ou moins bonne, un plaisir plus ou moins vif, un homme plus ou moins spirituel; ce ne sont pas là des grandeurs mathématiques. Pourquoi? Parce que ce ne sont pas là des grandeurs mesurables. Qu'est-ce qu'une grandeur mesurable et, en général, qu'est-ce que mesurer? C'est comparer une grandeur quelconque à une grandeur donnée prise pour unité. Mesurer une route, c'est comparer la longueur de la route à une unité de longueur qu'on appelle le mètre, et dire combien de fois elle comprend cette unité. Mais qui pourra dire, par exemple, combien de fois le talent de Catulle est contenu dans le génie d'Homère?
Il n'y a donc que les grandeurs mesurables qui soient l'objet des mathématiques. De là cette nouvelle définition: c'est la science de la mesure des grandeurs.
Cette définition est plus juste que la précédente; mais elle est encore superficielle. En effet, mesurer ne semble guère en réalité qu'une opération purement mécanique. Or c'est là l'objet d'un art et non d'une science. L'arpentage n'est pas la géométrie. C'est l'arpenteur qui mesure, c'est le géomètre qui fournit les moyens de mesurer. La mesure n'est donc pas l'objet immédiat de la science. Elle n'en est que l'objet indirect et éloigné. Voyons comment elle peut devenir un objet vraiment scientifique.
La comparaison directe et immédiate d'une grandeur quelconque à l'unité est, la plupart du temps, impossible. Par exemple, si je demande combien il y a d'arbres dans une forêt, je ne puis le savoir qu'en comptant les arbres un à un, ce qui demanderait un temps infini. Il en est de même dans la plupart des cas. Prenons le plus facile: la mesure d'une ligne droite par la superposition d'une de ses parties. Cela suppose: 1o que nous pouvons parcourir la ligne, ce qui exclut les longueurs inaccessibles (par exemple la distance des corps célestes); 2o que la ligne ne soit ni trop grande, ni trop petite, qu'elle soit convenablement située: par exemple horizontale, non verticale. Si cela est vrai des lignes droites, cela est vrai à plus forte raison des lignes courbes, des surfaces, des volumes, et à plus forte raison encore des vitesses, des forces, etc. Comment toutes ces quantités peuvent-elles être mesurées? C'est là le problème qui rend nécessaire les mathématiques.
Les mathématiques, dans leur essence même, ont donc pour objet de ramener les grandeurs non immédiatement mesurables à des grandeurs immédiatement mesurables. C'est par là qu'elles sont une science. En effet, l'intervalle qui sépare une grandeur à mesurer de la grandeur immédiatement mesurable peut être plus ou moins grand. De là une série de réductions, depuis la grandeur la plus éloignée jusqu'à la plus prochaine; et c'est la réduction de ces grandeurs les unes aux autres qui constitue la science; soit, par exemple, à mesurer la chute verticale d'un corps pesant. Il y a ici deux quantités distinctes: la hauteur d'où le corps est tombé, et le temps de la chute. Or ces deux
