conjunto estarían:
En el pueblo hay: los que se afeitan a sí mismos, los que afeita el barbero, y el barbero que no encaja en ningún tipo.
La paradoja de Cantor, quien fuera un matemático muy importante, fue el primero que trató el tema del infinito con seriedad, y quien fuera autor de la teoría de conjuntos, es de orden matemático y se encaja dentro de la teoría de conjuntos.
Si usted no desea entrar en el aspecto matemático del libro lo puede hacer sin perder ningún elemento conceptual, el siguiente ejemplo no es necesario leerlo habiendo entendido el anterior,sin embargo, la matemática utilizada en el mismo es básica, y si usted puede hacer el esfuerzo completará la idea, solo lo doy para demostrar que la matemática también tiene sus problemas. La paradoja de Cantor puede verla al final del libro, en el anexo nota 1.
De estos dos ejemplos se deduce, que tanto las matemáticas como la lógica tienen algunos baches, o zonas donde los resultados de un pensamiento lógico, o de una secuencia de operaciones matemáticas, nos conducen a una paradoja, a una solución que no es posible, porque se contradicen los resultados provenientes de operaciones matemáticas o lógicas. Sin embargo, parecería a la opinión de muchas personas, que las matemáticas son como un lenguaje divino, que no contiene errores, a ningún ingeniero se le ocurre pensar si un edificio está mal calculado, si ha seguido el procedimiento de cálculo, ni a un contador se le ocurriría pensar que los balances de una empresa están mal hechos porque los cálculos matemáticos son inseguros en sí mismos.
El primero que trató de sistematizar la matemática, de manera tal, que ésta formara parte de la Lógica, fue Bertrand Russell.
Bertrand Russell (1872–1970), un gran filósofo y matemático inglés, premio Nobel de Literatura en 1950, fue uno los pilares de la defensa del libre pensamiento universal.
Russell, amante de la lógica, y del pensamiento positivista, alcanzó el éxito después de haber escrito junto al matemático británico A. Whitehead, la monumental obra “Principia Matemática”, en la cual se forzaba a la matemática a calzar en un criterio lógico. Después de mucho luchar tratando de ajustar la matemática a la lógica, y tratando de resolver los problemas que ello ocasionaba, encontró otra paradoja más, que no pudo resolver, la que quedó como “la paradoja de Russell”.
¿Entonces es la matemática, o es la lógica un camino seguro para entender a Dios o a su Universo, y el cómo funcionan las cosas?
Aún no podemos decirlo, antes tenemos que ver otras soluciones al mismo problema.
Godel
Kurt Godel (1906 – 1978), fue un brillante matemático estadounidense de origen Austríaco, en la foto adjunta lo vemos con Albert Einstein. Evidentemente, Godel tenía la capacidad técnica de un gran matemático, sumada a una visión global, lo que le permitiría formular una solución a los problemas que por la época se presentaban, tanto la matemática, como la lógica.
La estructura del teorema de Godel (1931) no tiene gran importancia para nosotros, lo describiré brevemente, pero lo importante es su conclusión.
Godel, representó cada operación lógica con un número entero, y por un procedimiento matemático que incluía a los números primos, convertía esas operaciones lógicas en números, (números de Godel), y lo hacía de tal manera, que el método de conversión era totalmente reversible, de tal forma que teniendo el número de Godel, podíamos resolverlo y saber cuál fue la operación lógica que le dio origen, es decir desarrolló un método tal, que transformaba las operaciones lógicas en un solo número, y la relación entre ambas, al estar basado el procedimiento en números primos, es decir, que solo son divisibles por uno y por sigo mismos, era singular y biunívoca. A cada número de Godel le correspondía una operación lógica y viceversa.
Se puede demostrar que el desarrollo que conduce a un número de Godel, es totalmente reversible.
O sea, que dado un número de Godel podemos mediante un proceso volver a obtener la formula lógica que le dio origen.
Un conjunto de fórmulas u operaciones lógicas puede expresarse repitiendo el proceso, y dando como resultado otro número de Godel, que representa ese grupo y también es reversible.
Si bien esto se desarrolló para demostrar el teorema, el solo hecho de poder poner expresiones lógicas transformadas en números, tiene un enorme significado.
Si bien estamos lejos de tener capacidad para decodificar estos enormes números de Godel, provenientes de la codificación de información más o menos extensa, ya que nuestros potentes ordenadores, parecen contadores para bebés en este problema, sí importa el concepto de este método, porque es el método más compacto de guardar información que se conoce, mucho más que el sistema biológico de ADN, o cualquier otro conocido.
Volviendo al teorema de Godel, entonces, una vez que el obtenía su número de Godel de una fórmula, repetía el proceso para otras fórmulas para armar su teorema, de tal manera que si tenía varias fórmulas, obtenía un nuevo número de Godel que es la representación de ese conjunto de fórmulas.
David Hilbert (1862 – 1943), destacado filósofo y matemático alemán, proponía que cualquier teorema matemático debía tener un sustento lógico, concreto y firme, basado en un conjunto de axiomas, (que son los supuestos fundamentales para demostrar el teorema, y que forman parte del modelo), y cuya demostración es la simple y mecánica aplicación de operaciones matemáticas basadas solo en la lógica. Esto debía dar, como consecuencia, la demostración del mismo, y por estar la demostración basada en las operaciones lógicas, entonces el resultado final también es verdadero.
Existe en matemática y en lógica axiomas básicos que no deben ser demostrados, y que parecen ser muy razonables, como por ejemplo “El Todo es mayor que cualquiera de las partes”, o “una proposición no puede ser verdadera y falsa al mismotiempo”, o “todo es mayor que lo más pequeño”
La consistencia lógica es una propiedad de un conjunto de axiomas.
Se dice que un conjunto de axiomas es consistente, si a partir de él no puede deducirse simultáneamente una proposición (p) y su contraria (–p, o no p).Un conjunto de axiomas será completo, si es capaz de definir perfectamente el sistema pudiendo dar origen a un teorema que demuestre las propiedades del mismo, si el conjunto de axiomas es incompleto, no se puede demostrar ni (p, ni no p).
Para comprender mejor esto pondremos un ejemplo clásico.
Supongamos que un inspector de policía reúne pruebas para determinar la culpabilidad de un acusado de un crimen.
Este deberá contar con la cantidad de pruebas suficientes, que no den lugar a dudas que este es el criminal, es decir si el sistema (conjunto de pruebas), no es “completo” no se puede demostrar si el individuo es culpable, o inocente.
Por otro lado debe elaborar una teoría sobre cómo sucedieron los hechos, que a su vez sea “consistente”, es decir que no se pueda demostrar a través de su explicación del hecho que el acusado es inocente o culpable a la vez.
Esta era, y fue el mecanismo que imperó, y que inspiró el pensamiento científico occidental durante la historia de nuestra ciencia, que aún está vigente en la mayoría de los científicos y técnicos actuales.
¿Que deseaba Godel?
Lo que quería demostrar Godel, que conocía los problemas de las paradojas,
