Ejemplo 1.22
La Fig. E1.22.a muestra un tecle, que es un aparejo para levantar objetos de gran peso en forma manual. Típicamente el tecle se cuelga de un marco móvil que permite trasladarlo a distintos lugares en un taller; en la figura se muestra suspendido de un techo fijo. La parte superior del aparato se compone de dos poleas solidarias (unidas a un mismo eje) de radios diferentes. Una cadena sin fin pasa por las poleas, las que son dentadas para enganchar los eslabones de la cadena e impedir su deslizamiento. Al tirar el hombre de la cadena, las poleas superiores giran juntas, pero el punto A de la polea de radio mayor avanza más que el punto B de la de radio menor, lo que tiene por efecto que la polea C y la carga suban. Notar que el hombre tira hacia un lado de la cadena y el otro lado queda suelto. Si los radios de las poleas solidarias son r1=10 cm y r2=8 cm, determinar la fuerza que debe hacer el hombre para levantar un peso W=300 kg. Despreciar los pesos de la cadena y de las poleas.
Solución: Del diagrama de cuerpo libre de la polea C (Fig. E1.22.b), despreciando el peso de la polea, se tiene que las cadenas que la soportan realizan cada una fuerzas de W/2. Estas fuerzas se transmiten a la polea superior como se muestra en la Fig. E1.22.c. Hacia el lado de la cadena suelta, la fuerza es Q=0, ya que se está despreciando el peso de la cadena. La fuerza que realiza el hombre es F; nuevamente, despreciando el peso de la cadena, F actúa como se indica en la Fig. E1.22.c. Tomando momentos en tomo al punto O se tiene:
Figura E1.22.a
Notar que si r2 se aproxima a r1 la fuerza F se hace cada vez más pequeña. En particular si r2 =r1 resulta F=0, es decir el hombre no realizaría esfuerzo, pero el aparato sería inútil porque la carga no subiría aunque se dieran vueltas y vueltas a la cadena. Para los datos especificados en el enunciado se obtiene
Figura E1.22(continuación)
Ejemplo 1.23
Un cajón homogéneo de 150 kg de peso ha volcado apoyándose en otro cajón de 100 kg de peso. El coeficiente de fricción de los cajones con el suelo es μ=0,4. El contacto entre ambos cajones es liso. Determinar si el sistema está en equilibrio.
Figura E1.23.a
Solución:
i) Equilibrio del cajón 1
La Fig. E1.23.b muestra el diagrama de cuerpo libre del cajón 1. En el piso hay reacciones normal y de roce, no así en C donde el contacto es liso. Las ecuaciones de equilibrio de fuerzas son:
La ecuación de momentos conviene tomarla con respecto al punto A; para ello hay que calcular previamente la distancia “d” de la fuerza de 150 kg al punto A:
luego:
La máxima fuerza de roce que puede desarrollarse es Frmax =μNA=0,4·150=60 kg; como FrA<Frmax el cajón 1 está en equilibrio.
ii) Equilibrio del cajón 2
Este cuerpo podría perder el equilibrio de dos formas: por deslizamiento o por volcamiento. Para analizar el deslizamiento considérese la Fig. E1.23.c; las ecuaciones de equilibrio de fuerzas son:
La fuerza de fricción máxima que puede desarrollarse es Frmax=μN=0,4·100=40 kg; como Fr<Frmax el cajón 2 no desliza.
Para analizar el volcamiento considérese la Fig. E1.23.d. El volcamiento ocurrirá por giro en torno a la arista D del cajón, tendiendo éste a levantarse manteniendo contacto con el suelo solamente a través de la arista D. Por ello, las reacciones del piso deberán actuar justo en D. Las ecuaciones de equilibrio de fuerzas son las mismas anteriores. La ecuación de equilibrio de momentos en torno a D requeriría:
lo que no se cumple porque 1060,7≠1000, luego el cajón 2 vuelca. Entonces el cajón 1 tampoco está en equilibrio porque no puede afirmarse en el cajón 2.
Figura E1.23(continuación)
1.9 Ejercicios Propuestos
1.01 Localizar los centros de gravedad de los alambres delgados que se indican en la figura. (Respuesta: x*=-3b/34, y*=45b/272; x*=6,71 cm, y*=17,95 cm)
1.02 Hallar el centro de gravedad del área mostrada en la figura. (Respuesta: x*= 1,09 cm, y*=3 cm)
1.03 Encontrar el centro de gravedad de los 4 círculos de radio 1 cm ubicados como se indica. (Respuesta: x*=5 cm, y*=3 cm)
1.04 Encontrar el centro de gravedad de la superficie sombreada de la figura. (Respuesta: x*=4 cm, y*=4,55 cm)
1.05 Demuestre que el centro de gravedad de un área trapecial de bases a y b y altura h tiene una coordenada y* igual a
1.06 Encontrar el centro de gravedad del área de la figura achurada (usar centro de gravedad de un sector semicircular de Tabla V.2). (Respuesta: x*=17,88 cm, y*=38,47 cm)
1.07 Un disco de radio r1=50 cm y espesor unitario tiene cuatro agujeros como se muestra en la figura. Los centros de los agujeros están sobre una circunferencia de radio r2=30 cm formando ángulos de 60º. Determine el centro de gravedad del disco en el plano x, y. (Respuesta: x*=13 r 23/(625–r 23), y*=0 cm)
1.08 Encontrar el centro de gravedad del área de la figura achurada. (Respuesta: x*=8,4 cm, y*=4,7 cm)
