en que a y b son constantes cualesquiera; en el caso de la Fig. E1.1.a a=0, de modo que para cualquier punto de la curva de coordenadas xo e yo se cumple yo =bxo 2. El área que se desea calcular es el área achurada en la Fig. E1.1.b, es decir el área A bajo la curva parabólica en el intervalo limitado por x=0 y x=c.
Figura E1.1
Solución: Para ello se subdivide el intervalo de x entre 0 y c en n partes (en particular n=8 en las Figs. E1.1.c y d) y se calculan dos aproximaciones al área buscada: una por defecto (área achurada en la Fig. E1.1.c) y otra por exceso (área achurada en la Fig. E1.1.d). El área achurada en la Fig. E1.1.c es
mientras el área achurada de la Fig. E1.1.d es
se dice entonces que el área buscada A está acotada entre s
y en la medida que se aumente progresivamente el número n de subdivisiones la aproximación a la curva mejorará y la diferencia entre sn y Sn se hará cada vez más pequeña, determinándose A con un valor tan preciso como se quiera, quedando el problema resuelto. Sin embargo, estudiando las series sn y Sn puede demostrarse que si se toma un número infinito de términos, las sumatorias convergen a un número o límite finito:
y por lo tanto el área bajo la parábola es exactamente A=bc3/3, o sea, A es un tercio del área del rectángulo OIJK de la Fig. E1.1.b.
1.2 Ley de Gravitación Universal
Las antes mencionadas leyes de Kepler establecen las características cinemáticas, es decir geométricas, del movimiento de los planetas en torno al sol. Ellas fueron descubiertas en forma empírica, después de veinte años de observación y cálculos, pero no tenían una base teórica que las sustentara. En efecto, el concepto de fuerza no se había establecido con claridad hasta que Newton lo enmarcó en el contexto de sus Leyes del Movimiento y su Ley de Gravitación Universal. Precisamente, a partir de las leyes de Newton las observaciones de Kepler pueden derivarse o demostrarse con relativa facilidad.
La Ley de Gravitación Universal de Newton establece que “dos partículas materiales en el universo se atraen entre sí con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las une”:
Las fuerzas F se ejercen en la línea que une las partículas. La fuerza que actúa en la masa m2 es la acción de la masa m1 sobre ella y viceversa (Fig. 1.1). La constante G, denominada constante de gravitación universal, tiene el mismo valor para cualquier pareja de partículas, y debe determinarse experimentalmente. Numerosos experimentos han permitido calcular y mejorar el valor de G, aceptándose hoy G=6,673xl0-11 Newton-m2/kg2. Este valor es muy pequeño de manera que la fuerza de atracción entre cuerpos en la superficie de la Tierra es muy pequeña (ver Ejemplo 1.2).
Figura 1.1 Atracción recíproca de masas
Figura 1.2 Partícula m a distancia d de la superficie terrestre
De la Ley de Gravitación Universal se obtiene la fuerza de atracción sobre un cuerpo de masa m próximo a la superficie de la Tierra. En efecto, con la notación de la Fig. 1.2 se tiene
Utilizando los valores del radio de la Tierra R=6.380 kilómetros y de la masa de la Tierra M=5,983x1024 kilogramos, y suponiendo que d es muy pequeño frente a R se obtiene
Esta fuerza, de origen gravitacional, es lo que entendemos como peso del cuerpo de masa m. Comparando la Ec. 1-3 con la 2a Ley de Newton
en que F es la fuerza que actúa sobre un cuerpo y “a” la aceleración que este adquiere debido a la acción de dicha fuerza, se define la aceleración de gravedad
Cabe notar que g no es constante. En efecto, según la Ec. 1-2 es obvio que depende de R y d. Como el radio de la Tierra no es constante, sino 21 kilómetros menor en los polos que en el Ecuador, g varía con la latitud, siendo menor en el Ecuador y mayor en los polos. A su vez, en la medida que un cuerpo adquiere altitud, d deja de ser despreciable, como se supuso anteriormente, y tanto g como su peso disminuyen. Por otra parte, la distribución de masa de la Tierra no es homogénea de modo que también hay variaciones. Finalmente, también influye en el peso de los cuerpos la aceleración centrípeta debida a la rotación de la Tierra; este efecto, nulo en los polos y máximo en el Ecuador se manifiesta como una pequeña disminución adicional del peso.
Para completar esta sección se discutirá el tema de las unidades en que se expresan las cantidades físicas antes definidas. En física, el sistema de medidas más usado es el MKS, sigla que se refiere a las unidades de metro, kilogramo y segundo, que utiliza para las cantidades básicas de longitud, masa y tiempo. La aceleración, que es una cantidad derivada, se define como
en que Δv es el cambio de velocidad que experimenta el objeto considerado en el intervalo de tiempo Δt. A su vez, la velocidad se define como el cambio de posición Δs, o camino recorrido, en el intervalo de tiempo Δt
es decir, la velocidad se puede expresar directamente como el cuociente entre dos unidades básicas. Se tiene entonces que la aceleración tiene unidades de velocidad partida por tiempo, es decir metros/seg2, como se indicó en la Ec. 1-5 para la aceleración de gravedad (notar que el metro se abrevia simplemente con la letra eme, pero ello se ha evitado en esta Sección pues la misma letra se utiliza para designar la masa). Con la aceleración en metros/seg2 y la masa en kilogramos, la Ec. 1-3 entrega el peso del cuerpo en Newtons
El Newton es la unidad de fuerza del sistema MKS, ya que está expresado en términos de las unidades básicas del sistema. En la práctica común, y también en ingeniería y construcción, es usual utilizar una unidad diferente, el kilogramo-peso o kilogramo-fuerza. En esta dimensión responde el lector cuando le preguntan ¿cuánto pesas?, y es la misma que se utiliza cuando en la balanza del supermercado le pesan 2 kilos de fruta.
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