curvos la subdivisión deberá ser más fina, con el objeto de representar la forma del cuerpo de la manera más fiel posible mediante pequeños segmentos de formas regulares, como rectángulos, triángulos o trapecios. Las coordenadas del centro de gravedad del cuerpo se definen como:
Notar que las definiciones anteriores no son otra cosa que lo que normalmente se conoce como un promedio ponderado. En efecto, por ejemplo, lo que se denomina el promedio ponderado acumulado del rendimiento académico de un estudiante universitario tiene exactamente la misma definición:
en que Ni es la nota en el curso i, ci su número de créditos, y n el número de materias cursadas. El concepto de “ponderación” refleja el hecho que los cursos no tienen igual “peso” pues tienen distinto creditaje, por ello las notas deben ponderarse asignándoles un valor proporcional al creditaje. El promedio “corriente” de notas de igual valor, es decir sin corrección por creditaje u otro factor, es simplemente:
lo que corresponde a considerar ci ≡ 1 para todo i.
El método de cálculo implícito en las Ecs. 1-10 y 1-11 obviamente corresponde al concepto aplicado por Arquímedes (Ejemplo 1.1). Naturalmente, por otra parte, las ecuaciones mencionadas se transforman en integrales cuando el modelo deja de ser discreto (subdivisión en un número finito de partes) y se aborda como un continuo (subdivisión en infinitas partes).
Ejemplo 1.3
Determinar el centro de gravedad de un cartón delgado de la forma que se muestra en la Fig. E1.3.a
Figura E1.3
Solución: Se escoge un sistema de ejes de referencia, como por ejemplo el indicado en la Fig. E1.3.b. Por cierto hay distintas alternativas y libertad para escoger el sistema de ejes, aunque en algunos casos puede haber elecciones más convenientes que simplifiquen los cálculos.
A continuación se subdivide el cuerpo en segmentos de área simples cuyos CG son conocidos. En este caso, se ha subdividido el cartón en tres cuadrados iguales (Fig. E1.3.b) de modo que sus áreas y centros de gravedad son:
luego:
El CG calculado se muestra en la Fig. E1.3.c
Ejemplo 1.4
Determinar el centro de gravedad del cuerpo plano homogéneo de la Fig. E1.4 que tiene dos perforaciones circulares de radio “a”.
Figura E1.4
Solución: Este ejemplo ilustra que en la subdivisión del cuerpo en segmentos pueden considerarse áreas “en exceso” las que por cierto deben simultáneamente sustraerse. En efecto, en este caso los segmentos escogidos y sus áreas son: A1 =54a2=área total del rectángulo, y2 A =A3 =πa2=área de las perforaciones. Entonces, al utilizar las Ecs. l-10 y 1-11, A2 y A3 deben incorporarse con signo negativo, para restarlas del área A1 que las incluyó a pesar de ser espacios vacíos:
Ejemplo 1.5
Determinar el centro de gravedad de un alambre delgado, de peso constante por unidad de longitud, doblado en forma de M como se muestra en la Fig. E1.5.a.
Figura E1.5
Solución: Este ejemplo ilustra un caso de distribución de masa sobre una línea. Escogiendo los ejes de referencia y numerando los segmentos como se indica en la Figura E1.5.b, y siendo L la longitud de los segmentos 2 y 3:
los cálculos se organizan en la siguiente tabla:
Ejemplo 1.6
Determinar la posición del centro de gravedad de un círculo homogéneo de espesor constante al que se le ha recortado un cuadrado como se muestra en la Fig. E1.6.
Figura E1.6
Solución: Similarmente al procedimiento usado en el Ejemplo 1.4, se tiene:
1.4 Operaciones con Fuerzas
1.4.1 Principio de Transmisibilidad de una Fuerza
El Principio de Transmisibilidad establece que desde el punto de vista del equilibrio una fuerza puede considerase actuando en cualquier punto de su línea de acción. Naturalmente, este principio es consistente con el concepto de fuerza definido en la Sección 1.3.1; en efecto, una fuerza queda definida por su dirección o línea de acción, no siendo necesario para el equilibrio explicitar en qué punto específico de ella se ubica. Así, la fuerza de la Fig. 1.3 puede “desplazarse” a cualquier posición dentro de su línea de acción, manteniendo inalterado su efecto estático. Obviamente en lo anterior está implícito que si la fuerza actúa sobre un cuerpo, el principio no permite trasladarla para hacerla actuar sobre otro cuerpo.
La Fig. 1.13.a muestra un hombre que tira de una cuerda para sostener una carga. La Fig. 1.13.b muestra el modelo de la situación anterior. La fuerza que realiza el hombre, designada por F, tiene por línea de acción la dirección de la cuerda, siendo indiferente su posición. Físicamente, puede pensarse en este caso que la fuerza F que ejercen las manos del hombre se “transmite” sin variación a lo largo de la cuerda, de manera que en cualquier punto que se “corte” ficticiamente la cuerda, para modelar el problema, estará actuando igual fuerza F. Igual discusión puede realizarse en relación la carga de peso W; en el modelo, W se ubicará en cualquier posición de la línea vertical que pasa por el centro de gravedad del cuerpo.
Figura 1.13 Situación real y su modelo
Es
