puede reemplazarse por una construcción más conveniente, el polígono funicular, que también es aplicable al caso de un sistema de fuerzas paralelas. Además de ser una solución alternativa para los casos señalados, la mayor importancia de esta construcción radica en que permite profundizar algunos aspectos conceptuales del trabajo con sistemas de fuerzas, y en que ayudará a comprender el funcionamiento de una forma estructural muy notable en la historia de la arquitectura: el arco.
Figura 1.25.a Polígono Funicular
Figura 1.25.b Polígono de Fuerzas
Sea un sistema de fuerzas coplanares que actúan sobre un cuerpo rígido, tales como P1, P2, P3 y P4 en la Fig. 1.25.a. Las etapas de la construcción del polígono funicular son las siguientes:
a) Primero se construye el polígono de fuerzas, ABCDE en la Fig. 1.25.b, con el cual se determina la magnitud y dirección de la resultante R, pero no se conoce la posición precisa de su línea de acción.
b) Se escoge un punto arbitrario en el plano, tal como el punto O en la Fig. 1.25.b, que se denomina foco o polo. Desde el foco se trazan los rayos OA, OB, OC, OD, y OE a los extremos de las fuerzas P1 a P4.
c) Se escoge arbitrariamente un punto de arranque, a partir del cual se comenzará a construir el polígono funicular. Este es el punto So en la Fig. 1.25.a.
d) Pasando por So se traza una recta paralela al rayo OA, hasta interceptar la fuerza P1 en el punto S1; la recta trazada constituye el primer lado del polígono funicular. Pasando por S1 se traza una recta paralela al rayo OB, hasta interceptar la fuerza P2; la recta S1S2 constituye el segundo lado del polígono funicular. Y así, sucesivamente, trazando paralelas a OC, OD y OE se obtienen los lados S2S3, S3S4, y a partir de S4 el último lado del polígono funicular.
e) El punto Q, intersección de la prolongación del primer y del último lado del polígono funicular, es un punto de la línea de acción de la resultante R, quedando ésta totalmente determinada. Se tiene entonces que
La calificación de “funicular” dada al polígono se debe a que tiene la forma que adoptaría un hilo sin peso, sujeto en sus extremos (puntos So y S5), al ser sometido a las fuerzas P1, P2, P3 y P4 actuando en los puntos S1, S2, S3 y S4. Claramente dicho hilo se encontraría sometido a un esfuerzo de tracción en toda su longitud.
La analogía con el hilo facilitará explicar el fundamento de la construcción anterior. Para ello, se reconstruirá la Fig. 1.25 indagando sobre el equilibrio parcial de cada una de las fuerzas Pi dadas. Observando el polígono de fuerzas de la Fig. 1.26.b, y recordando que el punto O fue arbitrariamente elegido, se puede pensar que los rayos BO y OA(con sentido de B hacia O y de O hacia A) representan dos fuerzas arbitrarias F2 y F1 respectivamente que tienen la propiedad de equilibrar a la fuerza P1; esto último porque el polígono OABO de las 3 fuerzas P1, F1 y F2 es cerrado, es decir su resultante es nula. Puede pensarse entonces que el primer y segundo lado del polígono de la Fig. 1.26.a corresponden a fuerzas de tracción F1 y F2 en el hilo que equilibran a la fuerza P1. Análogamente, la fuerza P2 en la Fig. 1.26.b está en equilibrio con las fuerzas arbitrarias F3 (con sentido de C hacia O) y F2 (con sentido de O hacia B), ya que el polígono OBCO es cerrado; las paralelas a OB y CO, es decir los lados segundo y tercero del polígono funicular de la Fig. 1.26.a corresponden a las fuerzas de tracción F2 y F3 en el hilo necesarias para equilibrar a la fuerza P2. Así, sucesivamente, las fuerzas F3 y F4 equilibran a P3, y F4 y F5 equilibran a P4. Ahora bien, observando la Fig. 1.26.a, se aprecia que la fuerza F2, que participa en el equilibrio de P1, y la fuerza F2, que participa en el equilibrio de P2, se autoequilibran, ya que constituyen el segundo lado, o hilo continuo, del funicular; análogamente ocurre con las fuerzas F3 asociadas al tercer lado y F4 asociadas al cuarto lado.
En resumen, el primer tramo del hilo ejerce una fuerza F1, que es la fuerza que debería realizar una persona que sostuviera el hilo desde el punto So, y el último tramo del hilo ejerce una fuerza F5, que habría que ejercer externamente para sostenerlo desde el punto S5. Por supuesto si F1 y F5 equilibran al conjunto de fuerzas P1, P2, P3 y P4, ellas equilibran a su resultante R, y por lo tanto R pasa por el punto de intersección de las líneas de acción de F1 y F5; tal equilibrio también queda explícito en el polígono de fuerzas (Fig. 1.26.b), donde F1, R y F5 constituyen un polígono cerrado (OAEO), o sea,
En los lados 2o, 3o y 4o el hilo experimenta esfuerzos internos de tracción de magnitud F2, F3 y F4 respectivamente.
Como la elección de la ubicación del foco del polígono de fuerzas es arbitraria, se pueden trazar infinitos polígonos funiculares distintos para un mismo sistema de fuerzas. El hecho de que la intersección del primer y último lado ocurra siempre sobre la misma línea recta constituye una propiedad notable. En geometría, a un conjunto de puntos que satisfacen una misma condición se le denomina lugar geométrico; en este caso, la propiedad señalada puede expresarse diciendo que “el lugar geométrico de los puntos de intersección de los primeros y últimos lados de los infinitos polígonos funiculares que pueden trazarse para un sistema de fuerzas dado, es una línea recta, la que corresponde a la línea de acción de la resultante del sistema de fuerzas”.
Hay varias otras propiedades de los polígonos funiculares que no se incluyen aquí porque escapan al objetivo de este texto. En la Sección siguiente se aplicará el polígono funicular en la forma denominada línea de presión, que tiene especial significación para la comprensión del funcionamiento de las estructuras en arco, bóvedas y cúpulas.
Figura 1.26 Polígono Funicular: Equilibrios Parcial y Global
1.4.6 La Línea de Presión y el Arco
Dado un conjunto de fuerzas, puede construirse para ellas un polígono funicular invertido, como muestra la Fig. 1.27. La inversión se logra escogiendo el foco a la izquierda del polígono de fuerzas, es decir, al lado contrario de lo hecho en la Fig. 1.25. Además, puede darse mayor o menor curvatura al polígono funicular escogiendo el foco más cerca o más lejos del polígono de fuerzas. Las fuerzas dadas no tienen que ser de igual magnitud, ni paralelas, ni equidistantes, como ocurre en la Fig. 1.27.a, pero tal selección no resta generalidad a las conclusiones que se obtendrán a continuación. Sin embargo, el caso de fuerzas verticales es muy frecuente pues corresponde al caso común de cargas gravitacionales.
Si se analiza el equilibrio individual de una fuerza, por ejemplo la segunda, la Fig. 1.27.c muestra que ella se mantiene en equilibrio con las fuerzas F1 y F2, cuyas magnitudes son las que entrega la Fig. 1.27.b. Claramente, las fuerzas
