cada una de las fuerzas verticales dadas. Al contrario de lo que ocurrió en la Sección 1.4.5, ahora todos los lados del polígono funicular están en compresión, por ello se le llama “línea de presión”.
Si consideramos un arco de bloques pétreos como el de la Fig. 1.28 concluimos entonces que todos los elementos que lo componen están comprimidos y no se producen tracciones en las caras de contacto entre ellos, es decir, no hay tendencia a la separación. Para ello, la línea de presión debe pasar por el eje del arco, más precisamente por los centros de gravedad de las secciones en contacto o muy próxima a ellos. Esto permite usar materiales como la piedra o el ladrillo, de gran resistencia a la compresión pero débiles en tracción, incluso sin necesidad de disponer un mortero de pegamento entre ellos.
La invención del arco representa un salto tecnológico en la arquitectura pues permite salvar luces mayores que las que podían obtenerse con un dintel macizo de roca. La luz de éste en flexión quedaba limitada por su baja resistencia a la tracción, fallando por fractura en la mitad de la luz. A su vez las dimensiones de los dinteles o vigas de piedra quedaban también limitadas por la dificultad de encontrar grandes bloques de roca sana de una pieza, transportarlos, y alzarlos a su posición en la obra. Mayores luces podían obtenerse con vigas de madera, pero tales construcciones no tenían la durabilidad de la roca por su natural degradación con el tiempo y por su vulnerabilidad al fuego.
Figura 1.27 Polígono Funicular Invertido o Línea de Presión
Figura 1.28 Arco de Bloques Pétreos
Figura 1.29 Acueducto Romano de Segovia
Los primeros indicios de arcos y bóvedas se remontan a Mesopotamia, en las planicies aluviales del Tigris y del Éufrates (hoy Irak). Poca información se tiene sobre Babilonia, las únicas referencias están dadas por un plano de la ciudad de Nipur grabado en tablillas (1.500 A.C.) y por descripciones proporcionadas por el historiador griego Heródoto (486-406 A.C.). La madera y piedras eran escasas, no así la arcilla que ocuparon para fabricar ladrillos, además de utensilios y tablillas para escribir. Este hecho pudo haber obligado a los babilonios a descubrir las técnicas del abovedado. Conocieron la bóveda de barril o de túnel (cubierta cilíndrica apoyada en dos muros rectos paralelos) y la sucesión de arcos. Los asirios (1800-609 A.C.) en Mesopotamia construyeron palacios con cielos abovedados. El arco más destacado de la época es la puerta de Ishtar, que fue reconstruida por Nabucodonosor II (?-562 A.C.), estaba hecha de ladrillos vidriados de color azul decorados con figuras amarillas; el arco restaurado está hoy en el Museo Estatal en Berlín.
Los etruscos, que emigraron posiblemente de Asia Menor, establecieron durante el primer milenio A.C. una civilización en la península itálica, donde fueron paulatinamente dominados por los romanos a partir del siglo V A.C. Los etruscos usaron el arco en puertas, corredores y puentes, y lo transmitieron a los romanos. Éstos fueron los primeros en desarrollar el arco a escala masiva, utilizando el arco de medio punto (semicircular) en anfiteatros, palacios y acueductos (Fig. 1.29), aunque sus templos en general mantuvieron el estilo de columna y dintel de los griegos. Los romanos también inventaron el arco de triunfo como monumento conmemorativo de conquistas o personajes importantes. Variadas formas de arco fueron desarrolladas posteriormente por los arquitectos islámicos, y en Europa occidental la arquitectura gótica se caracterizó por el arco apuntado u ojival, que minimizó el empuje lateral y permitió construir muros altos y delgados con ventanales, creando los imponentes espacios interiores de las catedrales góticas.
Como se ha mencionado, arcos, bóvedas y cúpulas (bóveda semiesférica) ejercen sobre su base una fuerza lateral o empuje hacia fuera. Ello se desprende claramente de la Fig. 1.27. En efecto, el primer y último lado de la línea de presión, necesarios para sostener el arco, corresponden a fuerzas de compresión inclinadas con componentes vertical y horizontal; fuerzas iguales a éstas, pero de sentido contrario, son las que el arco ejerce sobre sus apoyos. Mientras más plano es el arco, como la línea de presión de la Fig. 1.27, más intenso es el empuje horizontal; inversamente en la medida que el arco es más alto, el empuje se reduce. La fuerza vertical no es problema, pero el empuje horizontal debe ser rígidamente soportado; para ello son comunes los muros laterales, como en los arcos de triunfo, también llamados contrafuertes. En arcos contiguos, los empujes laterales de ambos arcos se autoequilibran, y sólo persisten las componentes verticales que se transmiten a la columna. En el caso de las cúpulas, la presión horizontal puede ser resistida por un anillo o zuncho metálico que circunde su base.
En el Coliseo de Roma, construido entre los años 70-82 D.C. por el Emperador Vespasiano, y modificado en el año 223 D.C. (Fig. 1.30), se aprecian los contrafuertes triangulares en el extremo de la secuencia de arcos.
1.5 Equilibrio de una Partícula
Ya en la Sección 1.2 se hizo mención a la partícula, que corresponde a un modelo matemático que representa una cantidad de materia que no ocupa lugar en el espacio, pero tiene una posición precisa en él. Recordando el concepto geométrico de punto, puede decirse que una partícula es un punto material. Por otra parte, cuando se habla de un “modelo” no se pretende implicar que se trata de una reproducción a escala de una realidad física, sino que se trata de una concepción abstracta simplificada del objeto físico. La simplificación radica en que se han eliminado todos aquellos aspectos de la realidad que son intrascendentes para el problema en estudio.
Las bondades de un modelo dependen de las preguntas que se desea responder. Por ejemplo, la Tierra y los planetas pueden modelarse como partículas para efectos de estudiar sus órbitas alrededor del sol, pero ciertamente el modelo de partícula de la Tierra no servirá para estudiar la trayectoria de un vehículo espacial que regresa a ella.
En estática, hay un hecho fundamental inherente al modelo de partícula: las fuerzas aplicadas a ella son concurrentes. Por ello, aunque será común modelar cuerpos de dimensiones finitas como partículas, la condición fundamental para ello es la concurrencia de las fuerzas. En caso contrario las dimensiones reales del cuerpo no pueden ignorarse, y las condiciones de equilibrio de la partícula son insuficientes.
De acuerdo a la 2a Ley de Newton (Ec. 1-4) una partícula experimentará una aceleración a no ser que la fuerza que actúa sobre ella sea nula. Entonces, si F es la fuerza que actúa sobre una partícula, es condición necesaria y suficiente para su equilibrio que:
Si sobre una partícula actúan n fuerzas Fi, es condición necesaria y suficiente para el equilibrio que la resultante R del sistema de fuerzas sea nula:
Simbólicamente, la condición anterior puede escribirse como:
Figura 1.30 Coliseo Romano
pero teniendo presente que las cantidades involucradas en la sumatoria corresponden a cantidades vectoriales que no pueden sumarse simplemente en forma algebraica sino conforme a las reglas descritas en la Sección 1.4.
La ecuación vectorial anterior puede expresarse escalarmente en términos
