fuerza termina exactamente en el punto de inicio de la primera, como se muestra en la Fig. 1.20. Este caso corresponde a un sistema de fuerzas con resultante nula, condición fundamental para el equilibrio de un sistema. Por esta razón, el polígono de fuerzas se utilizará más adelante como una herramienta geométrica fundamental para encontrar relaciones entre las fuerzas en un sistema en equilibrio.
Figura 1.20 Sistema con polígono de fuerzas cerrado
1.4.4 Descomposición de Fuerzas
Una fuerza puede descomponerse según dos direcciones cualesquiera aplicando la Ley del Paralelogramo en forma inversa. Dada la fuerza P y las direcciones 1 y 2 de la Fig. 1.21.a, las componentes P1 y P2 de P se obtienen completando el paralelogramo que tiene a P como diagonal, como se muestra en la Fig. 1.21.b. Obviamente se cumple que la fuerza P es estáticamente equivalente al conjunto de sus dos componentes, es decir:
Figura 1.21 Descomposición de una fuerza
Figura 1.22 Proyecciones ortogonales de una fuerza
Es muy usual y conveniente aplicar la descomposición utilizando dos direcciones perpendiculares entre sí, las que normalmente son referidas como ejes ortogonales, o sistema de ejes cartesiano. La Fig. 1.22 muestra una fuerza P que se ha descompuesto en sus componentes Px y Py según los ejes x e y. Px y Py se denominan también proyecciones de P sobre los ejes x e y respectivamente.
Obviamente:
Las proyecciones ortogonales tienen la ventaja de permitir usar las funciones trigonométricas básicas, que en un triángulo rectángulo, como el de la Fig. 1.23, se definen como:
Figura 1.23 Triángulo rectángulo
y sus inversas
Aplicando las Ecs. 1-15 y 1-16 a la Fig. 1.22 se tiene que:
y además, por ser OAB un triángulo rectángulo, en virtud del Teorema de Pitágoras se tiene que las magnitudes de P y de sus componentes cumplen con:
La Ec. 1-23 también puede demostrarse elevando al cuadrado y sumando las Ecs. 1-21 y 1-22 y utilizando la conocida identidad trigonométrica:
El Ejemplo 1.7 presenta una aplicación directa de la regla de descomposición a la solución gráfica de un problema de estática. El Ejemplo 1.8 presenta una metodología analítica general para la composición de un sistema de fuerzas concurrentes; el método se basa en descomponer primero todas las fuerzas en sus componentes, para después simplemente sumar estas últimas en forma algebraica.
Finalmente cabe mencionar que en el caso tridimensional, es decir una fuerza en el espacio, se utiliza un sistema de tres ejes coordenados ortogonales, sobre cada uno de los cuales se proyecta la fuerza para obtener las componentes Px, Py, Pz (Fig. 1.24). Es claro que:
Figura 1.24 Proyecciones ortogonales de una fuerza en el espacio
Ejemplo 1.7
Descomponer la fuerza P en las direcciones AC y BC para determinar los esfuerzos en las barras correspondientes. Para esta construcción se adopta una escala como la indicada en la figura en que una cierta longitud representa a tantas unidades de fuerza. Notar que la solución implica que la barra BC queda sometida a un esfuerzo interno de tracción, mientras la barra AC experimenta compresión.
Figura E1.7
Ejemplo 1.8
Determinar la resultante del sistema de cinco fuerzas concurrentes que se muestra en la Fig. E1.8.a
Figura E1.8.a
Solución: Los cálculos de las componentes x e y de cada una de las fuerzas se organizan en la Tabla siguiente. Notar que los signos negativos indican componentes que tienen el sentido negativo de los ejes de referencia.
Figura E1.8.b
La suma de las proyecciones de las fuerzas sobre el eje x es la componente Px de la resultante, y análogamente Py para el eje y. La resultante P, según la Ec. 1-23, tiene magnitud (Fig. E1.8.b):
y su dirección queda dada por el ángulo β:
Notar que en la fórmula anterior se usó el valor absoluto de Py ya que no se está utilizando el signo trigonométrico del ángulo β sino sólo su magnitud.
1.4.5 El Polígono Funicular
El procedimiento indicado en la Sección 1.4.2 para determinar la resultante de un sistema de fuerzas
