1.10
Un hilo liviano de largo L está unido a dos puntos A y B a la misma altura y a distancia c. Por el hilo puede deslizar libremente un anillo pequeño de peso W. Determinar la fuerza horizontal que hay que aplicar al anillo para que se mantenga en equilibrio verticalmente bajo el punto B. Calcular la fuerza que desarrolla el hilo. Suponer que las fuerzas sobre el anillo son concurrentes.
Figura E1.10
Solución: El problema planteado se muestra en la Fig. E1.10.a. Como el anillo puede correr libremente por el hilo, si no se aplicara la fuerza horizontal indicada (X=0) el equilibrio se lograría con el anillo ubicado sobre el eje de simetría entre A y B (simetral de AB). Dependiendo de la magnitud de la fuerza X se puede lograr el equilibrio en distintas posiciones, de manera que el caso planteado es una de las infinitas situaciones posibles. Como se trata de un hilo continuo, sin fricción en su contacto con el anillo, la fuerza T en el hilo es constante en toda su longitud, de manera que la acción del hilo sobre el anillo es como se muestra en la Fig. E1.10.b.
En la Fig. E1.10.b aparecen el peso conocido W, las fuerzas incógnitas T y X, y el ángulo α que es un parámetro geométrico que debe determinarse con los datos L y c, y de la condición de que el triángulo ABC es rectángulo. Conocido α, T y X pueden obtenerse de las dos ecuaciones de equilibrio según componentes horizontales y verticales, de manera análoga al ejemplo anterior. En este caso, sin embargo, se aprovechará de ilustrar otro método: el uso del polígono de fuerzas.
Recordando que la condición de equilibrio de la partícula es que el polígono de fuerzas sea cerrado, pueden construirse varios polígonos dependiendo del orden en que se tomen las fuerzas. De hecho, como en este caso hay 4 fuerzas, existen 24 posibilidades distintas de escoger su secuencia, aunque varias de ellas repiten las mismas formas poligonales. Las Figs. E1.10.c, d, e y f muestran cuatro de estas posibilidades, todas construidas con el punto O como punto de inicio; algunas fuerzas se han desplazado ligeramente para apreciar mejor la secuencia de construcción. Notar, sin embargo, que la construcción sólo es posible si T<W, ya que sin este supuesto no puede lograrse un polígono cerrado.
Figura E1.10
Todos los polígonos de fuerzas conducen al triángulo de la Fig. E1.10.g, al cual puede aplicarse el Teorema de Lamy, o simplemente las relaciones obvias en proyecciones horizontal y vertical respectivamente:
Figura E1.10.g
Considerando el triángulo rectángulo ABC de la Fig. E1.10.a se tiene:
falta entonces determinar AC, lo que puede hacerse aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo ABC:
entonces:
Reemplazando la ecuación anterior en la segunda ecuación de equilibrio se tiene:
y reemplazando el resultado anterior en el primera ecuación de equilibrio se tiene:
Ejemplo 1.11
Considérese el mismo Ejemplo 1.9 pero con la diferencia que las dos cuerdas independientes se han reemplazado por una cuerda continua de igual largo total. Suponiendo contacto liso entre la cuerda y la armella del bloque, calcular la fuerza de tracción a que queda sometida la cuerda.
Figura E1.11.a
Solución: En este caso la posición de equilibrio no corresponde a aquella de la Fig. E1.9.a porque la armella C se desplazará sobre la cuerda hasta que el bloque adopte la posición más baja posible. Pero esta posición no es conocida a priori y debe ser calculada. Situaciones como ésta ocurren con cierta frecuencia en los problemas de estática, y se dice que en ellas la configuración de equilibrio, o geometría del estado de equilibrio, no es conocida de antemano. Entonces la solución del problema involucra el cálculo de incógnitas geométricas, además de las típicas fuerzas incógnitas. En la Fig. E1.11.b se plantea entonces la configuración de equilibrio en términos de las incógnitas x e y, mientras en la Fig. E1.11.c se muestran las fuerzas del modelo de partícula en el punto C.
Figura E1.11.b y c
De estas dos figuras se concluye que el problema tiene 3 incógnitas: T, x e y (notar que los ángulos α y β no son incógnitas adicionales, ya que si se conocieran x e y, ellos quedarían perfectamente determinados). Para poder resolver el problema se requieren entonces 3 ecuaciones, estas son:
i) La longitud total de la cuerda es la misma del Ejemplo 1.9, es decir según la Fig. E1.9.a:
Pero, de la Fig. E1.11.b:
luego
ii) Equilibrio de componentes horizontales en la Fig. E1.11.c:
lo que implica que α=β y por lo tanto puede plantearse otra ecuación en términos de x e y, por ejemplo utilizando tan α = tan β se tiene
de donde puede despejarse x como
iii) Equilibrio de componentes verticales en la Fig.E1.11.c:
que entregará el valor de T una vez calculado β a partir de x e y.
Las ecuaciones derivadas en i e ii permiten calcular x e y. En efecto, introduciendo la segunda en la primera se obtiene una ecuación para y:
Puede entonces determinarse el ángulo β de:
