Abb. 1.5 Eingeschnittener Balken mit zwei Einzellasten.
Die Bruchmechanik beschäftigt sich mit der Erfassung der oben beschriebenen Mechanismen. Die grundlegenden Zusammenhänge für querzugbeanspruchte Holzbauteile wurden von Per Johan Gustafsson (1988) zusammengestellt.
Die erforderlichen Gleichungen können anschaulich und beispielhaft für das in Abb. 1.5 dargestellte Bauteil hergeleitet werden. Die kritische Kraft Fcrit ist dann erreicht, wenn ein im lastfreien Zustand bereits vorhandener Riss der Länge a unkontrolliert fortschreitet.
Das Gesamtpotenzial Π ergibt sich aus der Energiebilanz
(1.16)
mit
Die beim Risswachstum in der Bruchfläche freigesetzte Energie W 0 wird z. B. in Wärme und Schall umgewandelt.
Das Risswachstum erreicht den kritischen Wert ac und geht in einen instabilen Bereich über, wenn das Maximum der Gesamtenergie erreicht ist (siehe Abb. 1.6a):
(1.17)
Die in diesem Zusammenhang definierte Griffith-Konstante Gc ist als Verhältnis der freigewordenen Energie zur Änderung der Bruchfläche definiert. Für das Beispiel aus Abb. 1.5 können die gespeicherte Energie Wi und die Arbeit der äußeren Lasten Wa mit der Biegesteifigkeit der Einzelquerschnitte ermittelt werden. Die Formänderungsenergie Wi wird über die Verformung der Einzelquerschnitte für u und u + du in Abb. 1.6b dargestellt. Dabei wird vorausgesetzt, dass der Riss bereits instabil ist, d. h., er wächst, ohne dass die Kraft zunimmt. Damit ist die kritische Bruchlast Fcrit erreicht.
Mit
(1.19)
Abb. 1.6 (a) Energiebilanz und (b) Last-Verformungs-Beziehung beim Rissfortschritt.
und
(1.20)
lässt sich eine Ersatzfedersteifigkeit für die beiden Kragarme in Abb. 1.5 beschreiben:
Der Zuwachs der inneren Arbeit (Formänderungsenergie) ergibt sich aus der Differenz von
(1.22)
und
Der Zuwachs der äußeren Arbeit lässt sich angeben als:
(1.25)
Durch Einsetzen von Gln. (1.23) und (1.24) in Gl. (1.18) folgt mit
(1.26)
Mit der Definition der Ersatzfedersteifigkeit
(1.28)
und deren Ableitung nach u
(1.29)
erhält man
Die Ableitung von Gl. (1.21) nach a ergibt
Mit Gln. (1.30) und (1.31) in Gl. (1.27) eingesetzt, lässt sich eine Bezeichnung zwischen der kritischen Bruchlast und der Griffith-Konstanten angeben:
(1.32)
Die zugehörige kritische Bruchlast beträgt:
Folgende Bezeichnungen wurden für diese Herleitung verwendet:
|
u
|
