partir de (2.85) se deriva que la función periódica f(t) se puede descomponer en una suma de infinitos términos sinusoidales de frecuencias múltiplos de f1 y de amplitudes dadas por el módulo de F1 = jωn de acuerdo con la siguiente expresión (expansión en serie de Fourier de ft)):
expresión que de acuerdo con las identidades de Euler
se puede desarrollar como
con ω1 = 2πT1 ysiendo a0, an y bn los llamados coeficientes de Fourier que se calculan de la siguiente forma:
Dado que los senos y cosenos de la misma frecuencial se pueden combinar en una misma sinusoide, la serie de Fourier se puede poner en la forma:
También se puede poner en la forma:
Como se aprecia, el parámetro a0/2 es una constante cuyo valor es el valor medio de la función f(t). El parámetro c1 es la amplitud del término sinusoidal de igual pulsación ω1 que f(t), es el denominado termino fundamental o primer armónico. Los parámetros c2, c3... son las amplitudes de los distintos armónicos de frecuencias 2ω1, 3ω1 …, respectivamente.
El valor eficaz de f(t) se puede calcular a partir de la serie de Fourier, resultando:
Determinadas simetrías de la función f(t) dan lugar a una reducción considerable del número de términos de la serie de Fourier. En la tabla 2.5 se indican los coeficientes resultantes para cada simetría así como las funciones que aparecen en la serie.
Tabla 2.5. Coeficientes de Fourier en ondas simétricas.
a. Simetría par
Una función se dice con simetría par si su gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas, es decir, la función f(t) es de simetría par si f(t) = f(–t).
Figura 2.43. Onda con simetría par.
b. Simetría impar
Una función se dice que es con simetría impar si su gráfica es simétrica respecto origen, es decir, la función f(t) es de simetría impar si –f(t) = f(—t).
Figura 2.44. Onda con simetría impar.
c. Simetría de media onda
Una función f(t) periódica, de período T1, se dice que es de simetría de media onda si:
Figura 2.45. Onda con simetría de media onda.
d. Simetría de cuarto de onda par
Una función se dice que es de simetría de cuarto de onda par si tiene simetría de media onda y además es una función con simetría par.
Figura 2.46. Onda con simetría de cuarto de onda par.
e. Simetría de cuarto de onda impar
Una función se dice de simetría de cuarto de onda impar si tiene simetría de media onda y además es una función con simetría impar.
Figura 2.47. Onda con simetría par de cuarto de onda impar.
En la tabla 2.6 se indican las series de Fourier de algunas funciones de uso habitual.
Tabla 2.6. Series de Fourier de ondas habituales.
Tabla 2.6 Continuación.
2.5.2. Dominio del tiempo y dominio de la frecuencia
Dada una función periódica f(t), le corresponde una y sólo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un conjunto único de coeficientes Cn. Es por ello que los coeficientes Cn especifican a f(t) en el dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t) especifica la función en el dominio del tiempo.
A la gráfica de la magnitud de los coeficientes Cn, en función de la frecuencia ω del término correspondiente se le llama el espectro de amplitud de f(t).
A la gráfica del ángulo de fase θn, en función de la frecuencia ω del término correspondiente se le llama el espectro de fase de f(t).
Nótese que ambas gráficas son funciones discretas, definidas únicamente para valores de frecuencias múltiplos de la frecuencia ω1 del término fundamental.
En resumen, que si f(t) es una función periódica de tiempo continuo, su expansión en serie de Fourier, tanto el módulo como la fase, son funciones aperiódicas y discretas:
