часть экспозиции находилась под постоянным наблюдением хотя бы одного охранника. Как эффективно решить поставленную задачу?
Мы должны обратиться к математической логике и попытаться мыслить геометрически. Давайте начнем рассуждать о помещении и его безопасности на языке математики. Итак: обозначьте необходимое количество охранников буквой g, а затем посмотрите, получится ли уменьшить это значение. Прежде всего вам нужно разобраться в многоугольниках (полигонах).
Многоугольники – плоские фигуры с прямыми сторонами. В большинстве случаев план помещения представляет собой совокупность многоугольников, которые в основном (но не всегда, что можно увидеть на представленной ниже планировке) имеют прямые углы.
Многоугольники принято называть по количеству сторон. Треугольник представляет собой многоугольник с тремя сторонами (для полигона это число сторон является минимально возможным). Если склеить два треугольника, сторона к стороне, получится четырехсторонняя фигура, известная как четырехугольник.
Четырехугольники – прямоугольник, квадрат, трапеция, дельтоид, параллелограмм и ромб. Добавьте к двум склеенным треугольникам еще один, и образуется пятиугольник – многоугольник с пятью сторонами. Приклеивая новые и новые треугольники, вы увеличиваете количество сторон полигона.
Многоугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми. У первых все внутренние углы меньше 180°: это означает, что, если вы смотрите на фигуру со стороны, вам кажется, будто ее стороны, как и углы, выдаются вперед, то есть являются выпуклыми. У многоугольников второй разновидности, невыпуклых, как минимум пара-тройка внутренних углов больше 180°, и появляется ощущение, что углы направлены внутрь фигуры.
Вообразите, что находитесь в комнате, план которой выглядит как выпуклый многоугольник. Где бы вы ни стояли, для обзора доступен любой угол. Если выражаться математическим языком, у вас есть возможность провести прямую от своего местоположения к каждой точке в помещении. В таком контексте линия будет означать направление обзора, а значит, для охраны любой выпуклой комнаты хватит одного человека.
К сожалению, проектировщик зала математического искусства хотел блеснуть оригинальностью или, возможно, просто увеличить площадь экспозиции, поэтому помещение приобрело вид невыпуклого многоугольника с 28 сторонами – икосиоктагона, если использовать точный термин. Точки внутри помещения, из которой можно провести прямую линию в любую часть многоугольника, не пересекая его сторон, не существует, и потому у нас есть все основания заявить: для наблюдения понадобится больше одного охранника. Итак, нам известно, что g > 1. Наверное, это и так было очевидно, однако теперь у нас появилась отправная точка.
Как уже было сказано, многоугольник можно собрать из треугольников. И, как вы, вероятно, помните со школьных времен, внутренние углы последних составляют в сумме 180°. У треугольника
