что помогло нам с Довом прояснить для себя некоторые на первый взгляд неочевидные свойства пенроузовских замощений.
Читая другие статьи, мы узнали, что точная форма этих плиток неважна, покуда они соединяются друг с другом способом, эквивалентным змеям и дротикам. Версия, которую нам с Довом оказалось проще анализировать, состояла из пары ромбов – широкого и узкого. Именно эти четырехугольники были использованы для создания замощения, изображенного на следующей странице.
Из одних только широких ромбов можно сложить периодический узор, равно как и из одних только узких. Также из различных комбинаций этих двух фигур можно получить другие периодические замощения.
Однако использование ромбов – это еще не все. Чтобы полностью исключить возникновение периодичности, необходимо ввести некие правила совмещения. Один из возможных подходов состоит в том, чтобы использовать ленты по аналогии с теми, что придумал Пенроуз для своих змеев и дротиков, и установить правило, гласящее, что две плитки могут соединяться, только если на ребре, по которому они граничат, состыковываются их ленты.
Другой способ воспрепятствовать появлению обычного периодического рисунка состоит в замене прямых краев плиток кривыми или имеющими специальные выступы, подобно деталям пазла, – это отлично иллюстрирует замечательный пример паркета из индивидуальных деталей, изображенный справа. В смысле взаимного расположения плиток этот деревянный паркет эквивалентен замощению из серых и белых ромбов. Единственное отличие состоит в том, что на деревянные плитки добавлены замки́. Они позволяют деталям соединяться друг с другом, как в пазле, и исключают возможность выложить ими какой-либо периодический узор.
Если вы впервые видите замощение Пенроуза, уделите немного времени его изучению и оцените свое первое впечатление. Как бы вы могли его охарактеризовать? Видите ли вы в нем упорядоченный или неупорядоченный узор? Если вам кажется, что плитки следуют друг за другом в упорядоченной последовательности, то как предсказать, какая плитка окажется следующей?
Глядя на замощение из широких серых и узких белых ромбов, мы с Довом заметили определенные часто повторяющиеся мотивы, такие как звездообразные кластеры из пяти серых плиток, окружающих центральную точку, – чего трудно было бы ожидать для случайного узора. Но мы также заметили, что эти кластеры не повторяются через равные интервалы, как должно быть в периодическом рисунке. И в то же время расстояния между этими повторениями не выглядели произвольными, что было бы ожидаемо при случайном узоре.
Сравнивая конфигурации плиток, которые непосредственно окружают звездообразные кластеры, мы заметили, что не у всех звезд окружение совпадает. На следующем слое окружающих плиток мы обнаружили еще больше различий. Изучив рисунок на странице 58, вы сами можете их заметить. На самом деле ни у какой пары звезд не будет в точности одинакового окружения,
