вращательная симметрия пятого порядка, которая, конечно, считалась невозможной.
Чтобы увидеть в замощении Пенроуза симметрию пятого порядка, требуется некоторое усилие. Вернемся к рисунку на странице 58 с замощением, составленным из широких серых и узких белых ромбических плиток. Уделите немного времени изучению плиток, которые непосредственно окружают любой из звездчатых кластеров. Их расположение представляется весьма сложным. Мысленно поверните его на одну пятую оборота, или на 72°. Совпадет ли конфигурация с той, что была вначале?
Если вы попробуете выполнить этот эксперимент, то обнаружите, что верным ответом будет “по-разному”. Для некоторых звезд ответ – твердое “нет”. Отбросьте их и выберите другие. Продолжайте, пока не найдете такой звездчатый кластер, для которого ответ будет “да”. Долго искать вам не придется.
Теперь рассмотрите второй слой плиток, окружающих выбранный вами звездчатый кластер. Повторите вращение на 72°, одну пятую часть полного оборота, и проверьте, выглядит ли эта конфигурация плиток, которая простирается теперь на два слоя от исходного звездчатого кластера, так же, как исходная.
И вновь для некоторых звезд ответом будет “нет”. Опять же проигнорируйте их и продолжайте поиск, пока не найдете один из тех более редких звездчатых кластеров, для которого ответом будет “да”. Теперь повторите этот процесс еще раз для этого подмножества, перейдя к трем слоям. И так далее.
Проверяя все больше и больше слоев, вы будете отбрасывать все больше и больше звездчатых кластеров, но обнаружите, что всегда остаются некоторые кластеры, сохраняющие симметрию пятого порядка. Эта процедура намного более трудоемкая, чем та, что требуется для проверки симметрии периодического замощения, но этого достаточно для доказательства того, что замощение Пенроуза обладает вращательной симметрией пятого порядка.
С использованием более сложных математических методов можно показать, что формально замощение Пенроуза обладает более чем пятым порядком симметрии. В действительности оно имеет симметрию десятого порядка. Но для нас с Довом разница между пятым и десятым порядком симметрии была неважна. В любом случае эта симметрия была строго запрещена математикой замощений и известными законами кристаллографии.
Отсюда вытекало лишь одно: в основании этих законов лежало ошибочное допущение, и на протяжении более чем двух столетий никто этого не замечал. Существовала некая лазейка. Едва осознав это, мы с Довом загорелись этой темой. Мы просто обязаны были найти эту лазейку.
Мы уже знали о правилах совмещения, загадочных замках, которые мешают плиткам складываться в какой-либо периодический узор. Правила совмещения означали, что плиткам дозволялось соединяться только в узоры с запрещенной симметрией пятого порядка.
С помощью моделей из шариков и проволоки мы с Довом уже начали конструировать аналогичную трехмерную структуру, состоящую из строительных
