что египтяне руководствовались им при строительстве великих пирамид. В V веке до нашей эры греческий скульптор и математик Фидий утверждал, что применял золотое сечение при создании Парфенона в Афинах, который сегодня считается величайшим памятником греческой цивилизации. В память о Фидии это отношение часто обозначают греческой буквой Φ (произносится как “фи”).
Греческому математику Евклиду, которого считают отцом геометрии, принадлежит самое раннее сохранившееся определение золотого сечения с использованием простых объектов. Он рассматривал способы разделить палку на две части таким образом, чтобы соотношение короткого и длинного кусков было равно соотношению длинного и их суммарной длины. Найденное Евклидом решение состоит в том, что более длинный кусок должен быть ровно в Φ раз больше короткого, где Φ равно
и выражается бесконечной неповторяющейся последовательностью десятичных цифр.
Числа, представляемые бесконечными непериодическими десятичными дробями, называются иррациональными, поскольку их нельзя выразить отношением двух целых чисел. Это отличает их от рациональных чисел, таких как 1/3 или 143/548, которые представляют собой отношения целых чисел и в десятичной форме записываются как 0,333… и 0,26094890510948905109… соответственно, то есть содержат периодически повторяющиеся последовательности цифр, если вычислить достаточное их количество.
Впрочем, появление золотого сечения в симметрии пятого порядка в замощении Пенроуза не то чтобы сильно поразило нас с Довом, поскольку это соотношение напрямую связано с геометрией пятиугольника. Например, на левом рисунке внизу отношение длины верхнего отрезка, соединяющего противоположные вершины пятиугольника, к длине одной из его сторон равно золотому сечению. Икосаэдр, изображенный справа, также заключает в себе золотое сечение: его двенадцать вершин образуют три взаимно перпендикулярных прямоугольника, у каждого из которых отношение длины к ширине равно золотому сечению.
По-настоящему удивило нас с Довом то, что мы обнаружили золотое сечение также и в чередовании широких (W) и узких (N) просветов.
Рассмотрим последовательность просветов W и N на рисунке со страницы 71. В ней нет никакого регулярного повторения. Если вы станете подсчитывать количество W и N, следя за соотношением этих чисел, то после учета первых трех просветов получите отношение 2 к 1, после первых пяти – 3 к 2, после первых восьми – 5 к 3 и так далее.
Есть простое арифметическое правило, которое порождает эту последовательность. Возьмем первое отношение – 2 к 1. Сложим эти два числа (2 + 1 = 3) и затем сравним сумму (3) с большим из двух исходных чисел (2). Получится новое отношение – 3 к 2, которое также оказывается очередным в последовательности, полученной для просветов. Сложим следующие два числа (3 + 2 = 5) и снова сравним результат с большим из двух предыдущих чисел – получим отношение 5 к 3.
Этот процесс можно продолжать бесконечно, получая соотношения 8 к 5,
