нами образец матрицы 3×3, где вместо букв можно подставить конкретные числа, что мы сделаем при рассмотрении конкретных примеров.
В алгебре для матриц вводятся числовые параметры, которые получили название определители. Для любой матрицы 3×3 можно рассчитать два определителя, которые получили следующие названия и обозначения: малый – δ, большой – Δ (используются прописная и заглавная греческая буква «дельта», читается: δ – «дельта маленькая», Δ – «дельта большая»).
Автор сознательно сохранил алгебраическое обозначение определителей, поскольку их замена на произвольные буквы будет выглядеть некорректно по отношению ко всем математикам, для кого данные обозначения знакомы.
Запишем формулы расчета обоих определителей в общем виде:
Имеется матрица 3×3, тогда:
δ = am – kb
Δ = (amr + bno + kcp) – (omc + kbr + anp)
Для того чтобы вы смогли запомнить данные формулы, запишем способы их составления и запоминания.
Итак, δ = am – kb.
Обратите внимание на буквы, входящие в формулу, и на матрицу. Хорошо видно, что все четыре буквы сами составляют квадратную матрицу, только 2×2. Выпишем ее отдельно:
Теперь мы можем записать, что малый определитель равен разности между произведениями чисел первой и второй диагоналей, где:
первая диагональ – это числа a, m,
вторая диагональ – это числа k, b,
что позволяет записать формулу: δ = am – kb.
Для запоминания формулы вычисления большого определителя
Δ = (amr + bno + kcp) – (omc + kbr + anp)
нам потребуется знание правила «треугольников», которое выглядит следующим образом. На числах матрицы 3×3 зарисовывают треугольники, вершины которых показывают, какую тройку чисел мы должны перемножить друг с другом:
положительные тройки чисел
отрицательные тройки чисел
геометрические зарисовки треугольников (или троек чисел).
Обратите внимание на то, что треугольники выбирают так, что одна из сторон должна быть параллельна одной из диагоналей матрицы, тогда вершины треугольников укажут нужные тройки чисел, включая тройки чисел диагоналей.
Теперь запишем тройки произведений чисел:
Настало время объяснить, для чего же нам понадобились эти самые определители. Начнем с того, что после всех расчетов по формулам мы обнаружим, что каждый из определителей – всего лишь число, которое может соответствовать одному из возможных вариантов:
– малый определитель δ может быть: δ > 0, δ < 0 или δ = 0;
– большой определитель Δ может быть: Δ ≠ δ или Δ = 0.
Так как малый определитель для различных матриц может принимать три разных значения,
