или геометрии четырех и более измерений, или, кратко, n-мерного пространства. Необходимо сказать несколько слов по обеим этим темам, чтобы показать, (1) что неевклидовы геометрии неадекватны как геометрии бесконечного пространства, но в то же время не противоречат этой концепции, и (2) что концепция n-мерного пространства самопротиворечива и немыслима; результат, который исключает даже предположение, что такое пространство или пространства могут существовать, хотя и недоступны для существ, наделенных только человеческими способностями восприятия. Логическое противоречие – это причина для отрицания реального существования, значительно отличающаяся от любой причины для его отрицания, возникающей только из-за ограниченности человеческих способностей. Пространство n измерений, как я попытаюсь показать, столь же логически немыслимо, как и утверждение в арифметике, что 2 +2 равно 5, или что в геометрии квадрат и круг могут быть одинаковыми. Если n-мерное пространство влечет за собой логическое противоречие, то мысль о его существовании в других мирах, кроме нашего, не может даже возникнуть.
В предыдущем разделе мы видели, что в науке исчисления определение величин осуществлялось с помощью символов, которые имели значение и использовались в расчетах, совершенно независимо от того, были ли символизируемые величины реальными, или воображаемыми, или даже противоречивыми. Мы увидели, что символы, обозначающие ничто, 0, и бесконечность, co, могут иметь различные значения в зависимости от того, какое место они занимают в конкретном вычислении, в котором они встречаются; что co может иметь различные степени, одна двойная (скажем) другой; и что 0 не обязательно подразумевает полное исчезновение количества. Короче говоря, мы увидели, что концепция количества в целом была вовлечена в процесс, акт целенаправленного внимания, от которого зависела вся наука вычисления или определения конкретных количеств. Теперь точно такое же положение, какое занимает концепция количества в целом в науке исчисления, занимает концепция «абсолютного пространства», или фигуративной Вакуиты, в науке геометрии, как науке об определениях или фигурациях пространства. Именно на основе этой концепции строится вся геометрия, или, другими словами, «абсолютное пространство» предполагается как существо, в которое геометр может идеально ввести деления, направления, величины, способы измерения, конфигурации, отношения и системы конфигураций, при соблюдении лишь условий, (1) что аксиомы, с которых он начинает, должны быть утверждениями самоочевидных фактов восприятия, и (2) что системы, к которым он приходит, должны быть логически последовательными внутри себя и с теми аксиомами, с которых он начинает. Очевидное невыполнение первого из этих условий одиннадцатой аксиомой Евклида (я имею в виду ту, которая гласит, что две прямые линии в одной плоскости, будучи продолжены, должны рано или поздно встретиться, если другая прямая, пересекающая их, делает внутренние
