«изопериметрическое неравенство». Он был известен еще в Древней Греции, но строгое доказательство получил только в 1879 году, когда математик Карл Вейерштрасс заполнил пробел в пяти различных доказательствах, опубликованных геометром Якобом Штейнером. Штейнер доказал, что если оптимальная фигура существует, то это должна быть окружность, но он не сумел доказать ее существование{10}.
Изопериметрическое неравенство гласит, что
квадрат периметра больше или равен 4π × площадь.
Это применимо к любой плоской геометрической фигуре, у которой есть периметр и площадь. Более того, постоянная 4π – наилучшая из возможных (ее невозможно сделать больше), и вариант «больше или равно» превращается в равенство только в том случае, когда фигура – круг{11}. Именно изопериметрическое неравенство навело Полсби и Поппера на мысль о том, что величина, которую я назвал тестом Полсби – Поппера (ПП), может служить эффективным способом оценки округлости геометрической фигуры. Вот несколько примеров:
Круг: ПП = 1;
Квадрат: ПП = 0,78;
Равносторонний треугольник: ПП = 0,6.
Для избирательного округа по Джерри ПП составляет примерно 0,25.
Однако у ПП есть серьезные недостатки. Необычные формы избирательных округов иногда бывают неизбежными из-за таких особенностей местной географии, как реки, озера, леса и очертания побережий. Более того, избирательный округ может быть аккуратным и компактным и при этом очевидно организованным с целью манипуляций. Так, карта избирательных округов на выборах 2011 года в законодательное собрание штата Пенсильвания выглядела очень причудливо и неестественно, и в 2018 году республиканцы подготовили предложения по ее изменению. Предложенные округа полностью соответствовали пяти параметрам, определенным Верховным судом штата, но математический анализ распределения голосов в округах показал, что границы все равно не были объективными и заметно влияли на результаты голосования.
Даже масштаб карты может вызвать проблемы. Основная из них – фрактальность геометрии. Фрактал – это геометрическая фигура с детальной структурой во всех масштабах. Многие природные формы больше похожи на фракталы, чем на евклидовы треугольники и окружности. Береговые линии и облака можно очень эффективно моделировать в виде фракталов, что позволяет отразить их замысловатую форму. Термин «фрактал» пустил в обращение в 1975 году Бенуа Мандельброт, разработавший и активно продвигавший новую область – фрактальную геометрию. Береговые линии и реки представляют собой чрезвычайно извилистые фрактальные кривые, и их длина при измерении сильно зависит от того, насколько мелкий масштаб при этом используется. На самом деле длина фрактальной кривой теоретически бесконечна, что в переводе на язык повседневной реальности звучит так: «Измеренная длина возрастает безгранично по мере
V. Blåsjö. "The isoperimetric problem",
Для окружности радиуса
длина окружности (= периметру) = 2π
площадь круга = π
периметр2 = (2π
