límite, con decir infinito, se niega: no caben ideas mas claras y precisas.
CAPÍTULO IV.
EL LÍMITE
[25.] Infinito parece expresar una negacion, puesto que equivale á no finito. Pero las negaciones no siempre son verdaderamente tales, aunque así lo indiquen las palabras: porque, si aquello que se niega es una negacion, el resultado es una afirmacion. Por esto suele decirse que dos negaciones afirman. Si alguno dice: no ha llovido; y otro contesta que no es verdad, niega la negacion del otro, pues que negar la proposicion: no ha llovido, es lo mismo que decir ha llovido, esto es, afirmar la lluvia. Así para conocer si la palabra infinito significa una verdadera negacion, es necesario saber qué se entiende por la palabra finito.
[26.] Finito es lo que tiene límite. Límite es el término mas allá del cual no hay nada del objeto limitado. Los límites de una línea son los puntos mas allá de los cuales la línea no se extiende; el límite de un número es el extremo mas allá del cual no se extiende el número; el límite de los conocimientos de un hombre es el punto á donde llegan, y del cual no pasan. Siendo el límite, negacion; negar el límite es negar la negacion, y de consiguiente afirmar.
[27.] Por estos ejemplos se echa de ver que el límite tomado en el sentido vulgar, expresa una idea algo distinta del límite definido por los matemáticos. Estos llaman límite á toda expresion finita, infinita ó nula, á la cual se puede acercar continuamente una cantidad, sin que jamás pueda alcanzarla. Así el valor 0/a es el límite del decremento de un quebrado, cuyo numerador es variable x/a; porque, suponiendo que x va menguando continuamente, el quebrado se acercará á la expresion 0/a, sin que jamás pueda llegar á confundirse con ella, mientras la cantidad x no se desvanezca del todo. Si suponemos (b+x)/a donde la x vaya decreciendo, la expresion se acercará continuamente á esta otra (b+0)/a = b/a, la cual será el límite del quebrado. Suponiendo la expresion a/x y que x va menguando, nos acercaremos continuamente a la expresion a/0 = ∞, valor infinito á que el quebrado no llegará nunca mientras x no se convierta en 0, lo que jamás podrá verificarse, habiendo de ser x una verdadera cantidad. Con estos ejemplos se ve por qué los matemáticos admiten límites finitos, infinitos, y nulos. Además se manifiesta tambien como en estos casos se toma la palabra límite, en un sentido diferente del vulgar, que es tambien el filosófico.
[28.] Límite pues, expresa una verdadera negacion; y así la palabra finito ó limitado envuelve por necesidad una negacion. No se limita lo que no es; por consiguiente, lo finito no puede ser una negacion absoluta. Esta seria la nada, y la nada no se llama finita. Luego en la idea de finito entran dos: 1.o ser, 2.o negacion de otro ser. Una línea de un pié envuelve dos cosas: el valor positivo de un pié, y la negacion de todos los otros valores fuera del de un pié. Luego lo finito en cuanto finito, envuelve una negacion referida á un ser. Si pudiésemos expresar en abstracto esta idea usando del término finidad, así como tenemos el de infinidad, diríamos que la finidad en sí, nada expresa, sino la negacion de ser referida á un ser.
[29.] De esto se infiere que la palabra infinito no es negativa; pues que con ella se niega una negacion; infinito es lo no finito, esto es lo que no tiene carencia de ser; y por consiguiente lo que posee todo el ser.
[30.] Tenemos pues alguna idea de lo infinito, y esta no es una pura negacion; sin embargo no se crea que con esto hemos llegado al último término del análisis de la idea de lo infinito. Mucho nos falta que andar, y despues de largas investigaciones es dudoso que obtengamos un resultado satisfactorio.
CAPÍTULO V.
CONSIDERACIONES SOBRE LA APLICACION DE LA IDEA DE LO INFINITO Á LA CANTIDAD CONTINUA, Y Á LA DISCRETA EN CUANTO SE EXPRESA EN SERIES
[31.] Una de las propiedades características de la idea de lo infinito es su aplicacion á órdenes muy diferentes. Esto da lugar á importantes consideraciones que contribuyen no poco á la aclaracion de dicha idea.
[32.] Desde el punto en que me encuentro, tiro una línea en la direccion del norte, y es evidente que puedo prolongarla hasta lo infinito. Dicha línea es mayor que otra cualquiera finita; ninguna de estas puede ser tan larga como ella; porque siendo finita, tendrá un valor determinado, por lo cual si la superpongo á la infinita, solo llegará hasta un cierto punto, y no pasará de allí. Parece pues que esta línea es infinita en toda la propiedad de la palabra; porque no habiendo medio entre lo finito é infinito, y no siendo ella finita pues que acabamos de demostrar que es mayor que todas las finitas, habrá de ser infinita.
La demostracion anterior parece que nada deja que desear; no obstante, hay tambien en contra de la infinidad de dicha línea una razon concluyente. Lo infinito carece de límites, y esta línea los tiene, pues que partiendo del punto desde el cual se la tira, hácia el norte, no se extiende en la direccion del sud.
[33.] Esta línea es mayor que todas las finitas; pero es dable encontrar otra mayor que ella. Si la suponemos prolongada en la direccion del sud, la que resulte de ella mas la prolongacion, será mas larga; y si en la direccion del sud se la prolonga hasta lo infinito, el resultado será una línea doble de la primera.
[34.] Con la prolongacion de una línea hasta lo infinito en las dos direcciones opuestas, parece que resulta una línea absolutamente infinita. A primera vista no se concibe que pueda haber un valor lineal mayor que el de una recta prolongada hasta lo infinito, en direcciones opuestas; sin embargo no es así; y considerando que al lado de esta recta se pueda tirar otra, finita ó infinita, y que la suma de las dos formará un valor lineal mayor que la primera, tenemos que esta no era infinita; puesto que es dable encontrar otras mayores que ella. Y como por otra parte es evidente que se pueden tirar infinitas líneas prolongadas hasta lo infinito, resulta que ninguna de ellas forma un valor lineal infinito, puesto que no es mas que una parte de la suma lineal que resulta del conjunto de las líneas que se pueden tirar.
[35.] Reflexionando sobre esta contradiccion que parece encontrarse en nuestras ideas, se descubre que la idea de infinito es indeterminada, y por tanto susceptible de aplicaciones diferentes. Así en el caso que nos ocupa, no puede dudarse de que la recta prolongada hasta lo infinito tiene alguna infinidad, pues que es cierto que carece de límite en sus respectivas direcciones.
[36.] Este ejemplo hace conjeturar que la idea de infinito no nos representa nada absoluto; pues que aun en los objetos que mas claros se ofrecen á nuestro espíritu, cuales son los de la intuicion sensible, encontramos bajo un aspecto la infinidad, que por otro vemos contrariada.
[37.] Lo que hemos observado en los valores lineales, se extiende tambien á los numéricos expresados en series. En las matemáticas se habla de las series infinitas; pero si bien se reflexiona no hay ninguna que merezca este nombre. Sea la serie a, b, c, d, e… se la llamará infinita, si sus términos continúan hasta lo infinito. No puede negarse que hay infinidad bajo un aspecto, porque falta el límite que ponga fin á la serie en un sentido; pero es evidente que el número de sus términos no será jamás infinito, pues que hay otros mayores; cual seria por ejemplo, si al continuar la serie de izquierda á derecha la continuásemos al mismo tiempo de derecha á izquierda en esta forma
… e, d, c, b | a, b, c, d, e…
en cuyo caso es evidente que el número de los términos seria duplo del primero.
Luego las series llamadas infinitas no lo son ni pueden serlo, hablando con rigor.
[38.] Pero lo curioso es que la infinidad no se encuentra en la serie, ni aun suponiéndola prolongada en direcciones opuestas; porque si á su lado imaginamos otra, es evidente que la suma de los términos de las dos, será mayor que la de una de ellas; de donde resultará que ninguna será infinita. Y como es evidente que sean cuales fueren las series, siempre se pueden imaginar otras, resulta demostrado que no puede haber una serie infinita en el sentido que los matemáticos toman la palabra serie; esto
