ni aun en este caso teníamos un valor lineal infinito en todo rigor; pues que esta recta solo formaba parte de la suma de otras que se podian imaginar. ¿Qué diremos pues de ella? ¿será infinita ó nó? ambas cosas se pueden decir haciendo la distincion debida. Será infinita, esto es, tendremos la idea de infinidad ó negacion de límite, aplicada con todo rigor á una linea recta sola; pero si en vez de tratar de una recta sola se trata de un valor lineal, sin ninguna condicion, la línea supuesta no será infinita; la negacion de límite no está aplicada bajo aquella condicion; el resultado pues será diferente, dejará de ser infinito.
[63.] Considerando dos líneas solas se puede hacer notar la misma anomalía. Supóngase una recta prolongada en los dos sentidos hasta lo infinito, y descríbase á su lado una curva que en undulaciones continuas se vaya prolongando hasta lo infinito en direccion paralela á la recta. Serán ambas infinitas segun como se las considere. Si se atiende solo á su direccion, prescindiendo del valor lineal que encierran, ambas son infinitas; pero si se atiende á este, la curva es mas larga que la recta porque es evidente que tomando una parte de la curva correspondiente á una parte de la recta y extendiendo ó rectificando la de la curva, resultará mayor que la de la recta; y como esto se puede hacer en toda la prolongacion de las líneas tendremos que el valor lineal de la curva será mayor que el de la recta en proporcion á la ley de sus undulaciones.
[64.] Por esta doctrina se echa de ver como la idea de infinidad puede aplicarse bajo diferentes condiciones, y producir diferentes resultados, sin ninguna contradiccion. Lo que es infinito bajo un aspecto, no lo es bajo otro; y de aquí procede lo que se llama órdenes de infinitos, y que tanto figuran en las matemáticas; pero repito que estas contradicciones no son susceptibles de explicacion si se atribuye á la idea de infinito un valor absoluto y no se le considera como la representacion abstracta de negacion de límite.
[65.] ¿Es posible concebir en una línea recta ó curva, una longitud infinita absolutamente hablando, ó sea un valor lineal, al cual se aplique absolutamente la negacion de límite? creo que nó: porque sea cual fuere la línea que consideremos, siempre se podrán tirar otras cuyo valor sumado con el de la primera, será mayor que el de esta sola. Hé aquí un caso en que hallamos contradiccion entre la negacion de límite y la condicion á la cual se la quiere someter. Se exige un valor lineal al cual se aplique absolutamente la negacion de límite; y por otra parte se exige que este valor lineal se presente en una línea determinada, la cual por el hecho de ser determinada excluye la negacion absoluta de límite: se ponen en el problema datos contradictorios, el resultado ha de ser pues una contradiccion.
[66.] ¿Qué deberemos suponer para concebir un valor lineal absolutamente infinito? bastará no suponer ninguna condicion que excluya la negacion absoluta de límite. Aquí es menester distinguir entre el concepto puro, y la intuicion sensible en que se exprese. El concepto de un valor lineal infinito existe, desde el momento que unimos las dos ideas generales: valor lineal y negacion de límite. La intuicion sensible en que pueda representarse dicho concepto no es tan fácil excogitarla, ni aun en general. Para llegar á ella en algun modo, es preciso que imaginemos un espacio sin ningun límite; y que entonces considerando en general todas las líneas que en él se pueden tirar rectas ó curvas, en todas direcciones, y bajo todas las condiciones posibles, tomemos la suma de todos estos valores lineales: el resultado será un valor lineal absolutamente infinito, porque le habremos aplicado la negacion de límite sin ninguna restriccion.
[67.] Del mismo modo podremos obtener un valor de superficie infinito; porque es evidente que se le puede aplicar todo cuanto hemos dicho de los valores lineales.
[68.] Es de notar que en todos estos casos aplicamos la negacion de límite á la extension considerada únicamente en algunas de sus dimensiones. Si queremos obtener una extension infinita absoluta, es necesario que no prescindamos de ninguna dimension; por manera que el infinito absoluto de este órden es la extension en todas sus dimensiones, negando absolutamente el límite. Pero tambien es de notar que aun para obtener un valor de líneas ó de superficies, absolutamente infinito, necesitamos ya presuponer el valor de extension absolutamente infinito; pues á esto equivale el suponer el espacio infinito en que se puedan tirar las líneas y las superficies en todas las direcciones, y bajo todas las condiciones posibles.
CAPÍTULO IX.
CONCEPTO DE UN NÚMERO INFINITO
[69.] ¿Concebimos nosotros un número infinito? Por una parte parece que nó, pues que dudamos de su posibilidad; duda que no existiria, si tuviéramos su idea. Por otro lado parece que sí, pues que conocemos desde luego cuándo un número no es infinito; lo que no sucederia, si no tuviésemos idea de número infinito.
Lo que hemos demostrado con respecto á la infinidad de las series (Cap. V), parece indicar que la idea del número infinito es una ilusion, puesto que números que habíamos creido infinitos, se nos presentan luego como no infinitos.
Yo creo que esta cuestion se puede resolver por los mismos principios que las del capítulo precedente. No veo ninguna dificultad en admitir la idea de un número infinito, ni que de ella resulte contradiccion de ninguna clase.
[70]. Número es una coleccion de unidades; esta idea nosotros la tenemos en toda su generalidad; para concebir el número, no necesitamos saber ni de qué clase son ni cuántas. La idea de número en general prescinde absolutamente de semejantes determinaciones. Es evidente que sea cual fuere el número determinado que imaginemos, siempre podemos concebir otro mayor; aun cuando al número le podemos señalar un límite, este podemos retirarle indefinidamente, de suerte que el límite de uno no sea el límite de otro. Unimos pues á la idea de número la idea de límite y la de negacion de cierto límite; luego si además unimos á la idea de número en general, la de negacion de todo límite en general, formaremos idea de un número infinito.
[71]. ¿Qué nos representará esta idea? Nada determinado: es un concepto enteramente abstracto, formado de dos igualmente abstractos: número y negacion de límite. No le corresponde ningun objeto determinado; es obra de nuestro entendimiento referida á objetos en general, sin determinacion de ninguna especie. Ahora podremos resolver las dificultades arriba indicadas.
[72]. ¿Por qué una serie de términos se nos ofrece como infinita, y luego bien examinada, vemos que no reune los caractéres de infinidad? Porque en el primer caso aplicamos la negacion de límite bajo una condicion de que nos desentendemos en el segundo.
Tomemos una serie a, b, c, d, e....
Es evidente que la podemos continuar hasta lo infinito, y concebir que se niega todo límite á su prolongacion: el número de términos es infinito en este sentido, porque la idea de negacion de límite está realmente aplicada á la serie. Cuando preguntamos si el número de los términos es infinito absolutamente, prescindimos de la condicion con que habíamos unido la negacion de límite: lo que era pues infinito en un caso, no puede serlo en otro: no hay una verdadera contradiccion; porque el sí y el nó se refieren á suposiciones diferentes.
[73.] Tomemos una línea y midámosla por piés. Prolongando esta línea se multiplicará el número de piés; y en general podemos concebir negado el límite á dicha multiplicacion. Entonces el número de piés resultará infinito. Considerando luego que el pié tiene doce pulgadas, si en vez de tomar por unidad el pié tomamos la pulgada, el resultado será un número doce veces mayor: hé aquí dos números infinitos, mayores el uno que el otro. ¿Hay en esto alguna contradiccion? nó por cierto: lo que hay es una diferente combinacion de ideas. En el primer caso, la idea de negacion de límite estaba subordinada á una condicion: la division de la línea en piés; en el segundo, introducimos una condicion diferente: la division de la línea en pulgadas.
[74.] Pero se nos replicará tal vez, estos números considerados en sí mismos, prescindiendo de que se refieran á piés ó á pulgadas, ¿son iguales ó nó? y en ambos casos ¿son infinitos ó nó? la objecion se desvanece haciendo notar la equivocacion
