кажется неподвижным, на самом деле летит со скоростью 30 км/с по этому колоссальному кругу, причем с ускорением. По второму закону Ньютона на яблоко должна действовать какая-то сила, и эта сила – гравитационное притяжение Солнца. Солнце тащит Землю по орбите со скоростью 30 км/c, а вместе с ней тащит и яблоко. Яблоко испытывает силу солнечной гравитации, точно как вы и я.
Мы летим вокруг Солнца со скоростью 30 км/c. Учитывая, как велика эта скорость, кажется, что результирующее ускорение также должно быть огромным, но ускорение на самом деле невелико, поскольку радиус круга огромен. Давайте посчитаем. Скорость Земли равна 30 км/c или 30 000 м/c, а радиус земной орбиты – 150 000 000 000 м. По формуле v2/r ускорение a равно (30 000 м/c)2/150 000 000 000 м = 0,006 м/с2, или 0,006 метра в секунду за секунду. Таким образом, скорость Земли ежесекундно меняется на 6 миллиметров в секунду. Величина крошечная. Галилей открыл, что тела падают на Землю под действием земного притяжения с ускорением примерно 9,8 метра в секунду за секунду, это значение гораздо больше. Следовательно, пусть мы и летим вокруг Солнца с огромной скоростью, Земля при этом ускоряется совершенно незначительно. Напротив, на американских горках наша скорость куда ниже 30 км/c, но радиус круга, по которому мы движемся, крохотный; подставив это меньшее значение r в формулу v2/r, получаем довольно большое ускорение, которое весьма ощутимо. (Так, если радиус горок – 10 метров, а вы летите по ним со скоростью 10 м/c, то получается ускорение 10 метров в секунду за секунду).
Если попытаться проследить гравитационное воздействие Солнца, то складывается более тонкая ситуация. Солнечная гравитация сообщает одинаковое ускорение всем телам на Земле – вам, книге, которую вы держите, яблоку на ладони. Все мы вращаемся по околосолнечной орбите свободного падения. Нам только кажется, что мы неподвижны; просто мы не замечаем этого движения, равно как не замечаем и ускорения.
Но факт остается фактом: Земля вращается вокруг Солнца с ускорением, и это ускорение вычисляется по формуле v2/r. Далее Ньютон применил третий закон Кеплера, чтобы определить, как сообщаемое Солнцем ускорение изменяется в зависимости от радиуса. Период орбитального вращения планеты (P) равен
P = (2πr/v);
следовательно, орбитальный период вычисляется как расстояние, проходимое планетой по орбите (2πr), деленное на скорость (v). Таким образом:
P пропорционально r/v и
P2 пропорционально r2/v2.
Кеплер установил, что P2 пропорционально a3, где a — большая полуось планетной орбиты. В данном случае земная орбита почти круговая, поэтому можно приблизительно взять r = a. В таком случае, подставив r вместо a, находим:
P2 пропорционально r3.
ПосколькуP2 также пропорционально r2/v2,
r2/v2 пропорционально r3.
Разделив на r, получаем:
r/v2 пропорционально
