корню n-ной степени из их произведения.
Формулу расчёта среднегодовой доходности (в процентах) вывести достаточно просто.
Допустим:
• Д(0) – исходное количество денег;
• Д(Х) – количество денег через Х лет;
• ГД – годовая доходность, в процентах.
Например, открываем вклад на 1 год, под ГД%. Сколько будет на вкладе? На вкладе будет сумма первоначального взноса Д(0) плюс процент от этой суммы в размере ГД. В виде формулы это можно записать следующим образом:
Через 1 год: Д(1) = Д(0)+Д(0)*ГД = Д(0)*(1+ГД);
Через 2 года: Д(2)=Д(1)*(1+ГД)=Д(0)*(1+ГД)*(1+ГД)=Д(0)*(1+ГД)2;
Через 3 года: Д(3)=Д(2)*(1+ГД)=Д(0)*(1+ГД)3;
…
в общем виде, формула принимает следующий вид:
Д(Х) = Д(0)*(1+ ГД)Х
Иногда надо решать обратную задачу. Требуется посчитать не какая получиться сумма через х лет при заданной годовой процентной ставке, а какая должна быть годовая процентная ставка, чтобы через Х лет первоначальная сумма выросла до известного результата.
Например, известно, что ваша инвестиция в размере 100 тыс. руб. за три года выросла на 30 тыс. руб. – то есть у вас на счету 130 тыс. руб. Какая должна быть среднегодовая доходность, чтобы получить этот результат?
Чтобы ответить на этот вопрос, сначала необходимо определить суммарную доходность за три года. Это сделать достаточно просто. Надо просто посчитать, сколько процентов составляет 30 тыс. руб. от 100 тыс. руб. В нашем примере суммарная доходность за три года составила 30 %.
Чтобы подсчитать среднегодовую доходность за каждый год, нельзя просто разделить 30 % суммарной доходности на 3 (года) и получить среднеарифметическую доходность в размере 10 % годовой доходности.
Если бы это было так, то, используя вышеприведённую формулу расчёта доходности, мы бы получили следующий результат:
100 тыс. руб. * (1+10,0 %)3 = 100 000 * (1 + 0,10)3 = 133 100,0 руб.
Но ведь по условиям задачи мы заработали 30 тыс. руб., а не 33,1 тыс. руб.[5]
Чтобы посчитать годовую доходность, если известен результат через Х лет, надо в формуле расчёта доходности использовать годовую доходность не в процентном формате, а изменение в разах.
• Д(0) – исходное количество денег;
• Д(Х) – количество денег через Х лет;
• Р – ежегодное изменение в разах.
Через 1 год: Д(1) = Д(0)*Р;
Через 2 года: Д(2) = Д(1)*Р = Д(0)*Р2;
Через 3 года: Д(3) = Д(2)*Р = Д(0)*Р3;
…
В общем виде, формула расчёта среднегодовой доходности (в разах) принимает следующий вид:
Д(Х) = Д(0)*РХ
В нашем примере, через 3 года (Х), 100 тыс. руб. – Д(0), стали 125 тыс. руб. Д(3). Надо найти во сколько раз изменилась инвестиция, то есть найти чему равно «Р»?
(что эквивалентно росту на 7,72 % в год).
Проверяем
Из этого примера видно, что использование среднеарифметической доходности для сравнения начальной и конечной стоимости инвестиций приводит к завышению конечной стоимости.
