(1-8) im Grenzfall p → 0 beschrieben. Um den Wert der Gaskonstante zu bestimmen, berechnet man für ein Gas im Grenzfall sehr kleinen Drucks (d. h. bei nahezu idealem Verhalten) R = pV/ nT. Einen exakteren Wert erhält man durch Messung der Schallgeschwindigkeit in einem unter sehr geringem Druck stehenden Gas (in der Praxis meist Argon) und Extrapolation des Messwerts auf p → 0. Tabelle 1-2 gibt Zahlenwerte von R in verschiedenen Einheiten an.
Tabelle 1.2 Die Gaskonstante in verschiedenen Einheiten.
| R | Einheit |
| 8.31447 | JK–1 mol–1 |
| 8.20574 × 10–2 | dm3 atm K–1 mol–1 |
| 8.31447 × 10–2 | dm3 bar K–1 mol–1 |
| 8.31447 | Pam3 K–1 mol–1 |
| 62.364 | dm3 Torr K–1 mol–1 |
| 1.98721 | cal K–1 mol–1 |
Die Fläche in Abb. 1-8 zeigt den Verlauf des Drucks einer bestimmten Gasmenge in Abhängigkeit von ihrem Volumen und ihrer thermodynamischen Temperatur entsprechend Gl. (1-8). Ein ideales Gas kann nur Zustände in dieser Fläche annehmen: es kann nicht in Zuständen vorliegen, die Punkten außerhalb dieser Fläche entsprechen. Die Kurven in Abb. 1-4, 1-5 und 1-6 sind Schnitte durch diese Fläche, wie in Abb. 1-9 dargestellt.
Beispiel 1-2 Anwendung der Zustandsgleichung des idealen Gases
In einem Industrieprozess wird Stickstoffin einem Gefäß mit konstantem Volumen auf 500 K erhitzt. Bei Eintritt in den Behälter beträgt sein Druck p = 10.0 MPa und seine Temperatur T = 300 K. Unter welchem Druck steht das Gas bei Arbeitstemperatur, wenn es sich ideal verhält?
Vorgehen Da die Temperatur ansteigt, erwarten wir, dass der Druck zunimmt. Die Zustandsgleichung des idealen Gases in der Form pV/nT = R zeigt, dass pV/nT konstant ist und die Werte der Variablen für zwei Zustände durch ein „kombiniertes Gasgesetz“ zusammenhängen:
(1-9)°
Eine Zusammenfassung der bekannten und unbekannten Größen gibt Skizze (2).
Antwort Kürzen der Stoffmenge (n1 = n2)und des Volumens (V1 = V2)aufbeiden Seiten der kombinierten Gleichung liefert
oder umgeformt
Einsetzen der Zahlenwerte ergibt
Experimentell erhält man für die angegebenen Bedingungen einen Druck von 18.3 MPa; das heißt die Annahme idealen Verhaltens des Gases führt zu einem Fehler von 10 %.
Abb. 1-8 Ausschnitt aus der p, V, T-Fläche einer gegebenen Stoffmenge eines idealen Gases. Zu allen Zuständen, die das Gas annehmen kann, gehört jeweils ein Punkt aufdieser Fläche.
Übung 1-3
Wenn der Enddruck im beschriebenen Prozess 30.0 MPa beträgt wie hoch ist dann die Temperatur?
[900 K]
Die Zustandsgleichung des idealen Gases ist in der physikalischen Chemie von zentraler Bedeutung da auf ihrer Grundlage zahlreiche thermodynamische Beziehungen hergeleitet werden können. Außerdem lässt sie sich in der Praxis zur Berechnung der Eigenschaften von Gasen unter vielfältigen Bedingungen anwenden. So kann man das molare Volumen Vm = V/ n eines idealen Gases unter StandardUmgebungsbedingungen (SATP, 298.15 K und 105 Pa = 1 bar) leicht berechnen: Vm = RT/p = 24.789dm3 mol–1. Früher wurden häufig auch die so genannten Standardbedingungen (STP, 0°C und 1atm) verwendet; das molare Volumen eines idealen Gases ist dann gleich 22.414 dm3 mol–1.
Die kinetische Gastheorie
Das Gesetz von Boyle lässt sich auf molekularer Ebene wie folgt erklären. Wenn man eine Gasprobe aufdie Hälfte ihres Anfangsvolumens komprimiert, so treffen innerhalb einer bestimmten Zeit doppelt so viele Moleküle aufdie Gefäßwand wie vor der Kompression. Folglich ist die mittlere auf die Wand ausgeübte Kraft ebenfalls doppelt so groß wie zuvor. Wenn das Volumen halbiert wird, verdoppelt sich demzufolge der Druck und p V bleibt konstant. Das Gesetz von Boyle gilt für alle Gase unabhängig von ihrer chemischen Zusammensetzung sofern nur der Druck gering genug ist, weil in diesem Fall die mittlere Entfernung zwischen zwei Molekülen so groß ist, dass diese einander nicht beeinflussen, sich also unabhängig voneinander bewegen. Die molekulare Erklärung des Gesetzes von Charles beruht auf der Tatsache, dass die mittlere Geschwindigkeit der Moleküle eines Gases mit steigender Temperatur zunimmt. Folglich treffen die Moleküle häufiger und heftiger auf die Gefäßwand, üben also einen größeren Druck aus.
Abb. 1-9 Als Schnitte durch die in Abb. 1-8 dargestellte Fläche erhält man für konstante Temperatur die Isothermen aus Abb. 1-4, für konstanten Druck die Isobaren aus Abb. 1-6 und für konstantes Volumendie Isochorenaus Abb. 1-7.
Diese qualitativen Überlegungen werden durch die kinetische Gastheorie, die wir in Kapitel 20 ausführlich besprechen wollen, quantitativ erfasst. Diese Theorie beruht auf drei Annahmen:
1 Das
