и фигур делала древних греков повелителями геометрии, однако она была связана с серьезным недостатком. Она мешала тому, чтобы рассматривать ноль как число. Какая фигура, в конце концов, могла быть нолем?
Легко визуально представить себе квадрат шириной и высотой в две единицы, но что за квадрат с нулевой шириной и высотой? Трудно представить себе квадрат, не имеющий ни ширины, ни высоты, не имеющий никакой материальности. Это означало, что умножение на ноль бессмысленно. Умножение двух чисел эквивалентно нахождению площади прямоугольника, но какой может быть площадь прямоугольника с нулевой высотой или шириной?
Сегодня великие нерешенные проблемы математики формулируются в теоретических формулах, которые математики не в силах доказать. В древней Греции, однако, «число-формы» побуждали мыслить иначе. Знаменитые нерешенные вопросы имели геометрическую форму: имея только линейку и циркуль, можно ли было построить квадрат, площадью равный заданному кругу? Можно ли было с помощью этих инструментов разделить угол на три части?[6] Геометрические построения и фигуры были одним и тем же. Ноль был числом, которое не имело никакого геометрического смысла, так что, чтобы включить его в свою математику, грекам пришлось бы полностью изменить способ вычислений. Они предпочли этого не делать.
Даже если бы ноль был числом в греческом смысле, составление пропорции с участием ноля противоречило бы законам природы. Пропорция больше не выражала бы отношение между двумя объектами. Частное от деления ноля на что угодно – на любое число – всегда равно нолю; другое число полностью поглощается нолем. А частное от деления чего угодно на ноль – числа на ноль – может разрушить логику. Ноль пробил бы дыру в аккуратном пифагорейском порядке Вселенной; по этой причине его нельзя было терпеть.
Пифагорейцы попытались дать отпор другой тревожащей математической концепции – понятию иррационального. Это был первый вызов их взглядам, и братство попыталось держать все в тайне. Когда секрет просочился наружу, последователи культа прибегли к насилию.
Понятие иррациональности таилось внутри греческой математики, как бомба с часовым механизмом. Благодаря двойственности «число-формы» греческое исчисление было равносильно измерению прямой. Таким образом, отношение двух чисел было не более чем сравнением двух отрезков разной длины. Однако для любого измерения требуется стандарт, общая мера для сравнения с величиной отрезков. Например, представьте себе отрезок прямой длиной ровно в фут. Сделайте отметку, скажем, на расстоянии пяти с половиной дюймов от одного конца, которая разделит фут на две неравные части. Греки вычислили бы пропорцию с помощью деления отрезка на маленькие кусочки, используя, например, стандартную мерку в полдюйма. Одна часть отрезка содержала бы одиннадцать таких мер, а другая – тринадцать. Отношение двух отрезков, таким образом, было бы 11:13.
Для того чтобы все вещи во Вселенной управлялись пропорциями,
Ранние вавилоняне явно не осознавали трудности трисекции угла. В эпосе о Гильгамеше говорится, что Гильгамеш был на две трети богом и на одну треть человеком. Это так же невозможно, как деление угла на три равные части с помощью линейки и циркуля – если только не считать, что богам удалось совершить бесконечное количество половых актов со смертными до рождения Гильгамеша (
