TABLAS DE VALORES
También se puede definir una función por medio de una tabla que relacione los valores de la variable independiente con los valores de la variable dependiente. Una tabla puede expresar, por ejemplo, los beneficios obtenidos por una empresa de automóviles. Los valores de la variable x corresponden al tiempo, medido en años, tomando como origen el año 2000. De esta manera el cero es el año 2000, el –2 es el año 1998 y el 3 es el 2003. Los valores de la variable y corresponden a las ganancias de la empresa o a sus pérdidas, si el valor es negativo. El par formado por el cero y el –4, por ejemplo, indica que el año 2000 la empresa tuvo unas pérdidas de 4 millones de euros.
Para poder dibujar la gráfica de una función, tenemos que disponer de un sistema de ejes de coordenadas. Se trata de dos rectas perpendiculares. La horizontal se llama eje de abscisas y la vertical, eje de ordenadas.
Los matemáticos de la antigua Mesopotamia ya usaban tablas de valores. Se han encontrado algunas del siglo IV a.C. que contienen datos que se utilizaban en astronomía.
Dibujo del primer par de valores de la tabla, formado por el –3 y el 5.
Al unir entre sí los puntos correspondientes a los valores de la tabla, se forma la gráfica de la función.
LA FUNCIÓN LINEAL
En este mercado oriental, en un día determinado cada kilogramo de judías verdes se vende al equivalente de dos euros; la fórmula matemática que expresa el valor en euros de una venta en función del número de kilogramos vendidos es: y = 2x. Una función de este tipo recibe el nombre de función lineal.
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LINEAL
Hemos llamado x a la cantidad de kilogramos vendidos e y a la cantidad de euros que el vendedor recibirá por su venta. Sustituyendo los números 0, 1, 2, 3 y 4 en la variable x, obtendremos una tabla de valores. Para dibujar la gráfica, bastará con llevar los pares (0, 0); (1, 2); (2, 4), etc., a los ejes de coordenadas y unir los puntos obtenidos. La gráfica de una función de este tipo es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. De ahí el nombre de función lineal.
PENDIENTE DE UNA RECTA
En la tabla de valores vemos que cada vez que la x aumenta una unidad la y aumenta dos. Entonces decimos que la pendiente de la recta es dos. La pendiente coincide con el coeficiente de la x, es decir, con el número que va delante de la x en la fórmula de la función y = 2x. Cuanto mayor es dicho número, mayor es la inclinación de la recta.
¿Qué sentido tendría vender –5 kilogramos? Ninguno. En este caso no podemos dar a la x valores negativos. El conjunto de valores que podemos dar a la variable independiente se llama dominio de la función. En este ejemplo, está formado por el cero y los números reales positivos, conjunto que se suele escribir R+.
Es muy importante descubrir la fórmula matemática de una función, ya que así podemos sustituir cualquier valor de la variable independiente. Si se ha realizado, p. ej., una venta de dos kilogramos y cuarto, haríamos y = 2· 2,25 = 4,50. El punto correspondiente al par (2,25; 4,50) también estaría situado sobre la recta.
Como ni la x ni la y pueden ser negativas, la gráfica se reduce al primer cuadrante.
¿Podría cobrar el vendedor –20 euros por una venta de judías verdes? No. El conjunto de valores que se obtienen en la variable dependiente se llama recorrido de la función. En este caso coincide también con R+.
LA FUNCIÓN AFÍN
Aunque en la mayoría de los países la temperatura se mide en grados centígrados, en algunos se mide en grados Fahrenheit. La fórmula que permite expresar en grados Fahrenheit una determinada cantidad de grados centígrados es: y = 1,8x + 32.
Una función de este tipo se llama función afín. Si damos valores a la variable x, construimos la tabla correspondiente y dibujamos la gráfica, veremos que la recta obtenida corta al eje vertical en el valor 32. Dicho valor se llama ordenada en el origen y coincide con el término independiente de la fórmula de la función, es decir, el término que no lleva x.
La función lineal es un caso particular de la función afín, que se produce cuando la ordenada en el origen vale cero. Por ejemplo: y = 2x + 0 = 2x.
En las zonas desérticas, la temperatura diurna puede alcanzar los 50 grados centígrados. Esta temperatura equivale a y = 1,8 · 50 + 32 = 122 grados Fahrenheit.
En algunas zonas de montaña se alcanzan con frecuencia temperaturas inferiores a –4 grados Fahrenheit.
Para convertir esta cantidad en grados centígrados, haríamos lo siguiente: –4 = 1,8x + 32, de donde: –4 –32 = 1,8x y finalmente:
LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Santiago quiere comprar una parcela cuadrada para construir una casa. Según la normativa municipal, no se puede edificar a menos de diez metros de las lindes este y oeste, que dan a dos calles, ni a menos de cinco metros de las lindes norte y sur, que limitan con las parcelas vecinas.
Para expresar la superficie del rectángulo construible, y, en función de la longitud del lado de la parcela, x, hay que tener en cuenta que el área de un rectángulo se calcula multiplicando sus dos lados diferentes: y = (x – 20)(x – 10). Multiplicando, obtenemos: y = x2 – 10x – 20x + 200, es decir: y = x2 – 30x + 200.
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
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