para hallar el de la otra: y = 200.000 – x =
= 200.000 – 80.000 = 120.000 euros.
Luego Pedro invirtió 80.000 euros en una empresa y 120.000 en la otra.
Nunca está de más comprobar las soluciones de un sistema. En nuestro caso, la primera ecuación se cumple, ya que:
80.000 + 120.000 = 200.000
y la segunda también:
En buena parte, la marcha de la economía mundial se refleja en las bolsas. Las principales bolsas son: Nueva York, Londres, París, Frankfurt y Tokio.
LA FIESTA DE CUMPLEAÑOS
María y sus amigos celebraron el pasado sábado una fiesta de cumpleaños. Eran cuarenta en total. Al cabo de una hora se habían marchado diez chicos, por diversos motivos, con lo que el número de chicas pasó a ser el doble que el de chicos. ¿Cuántos chicos y chicas había en la fiesta inicialmente?
MÉTODO DE IGUALACIÓN
Llamando x al número de chicas e y al de chicos de la fiesta,
obtenemos el sistema siguiente:
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones. Como en este caso, ya tenemos despejada la x en la segunda ecuación, despejaremos esa misma incógnita en la primera, con lo que el sistema resultante
Ahora igualamos los dos valores:
40 – y = 2y – 20.
Si agrupamos las incógnitas, resulta:
– y – 2y = – 20 – 40 es decir: –3y = – 60.
Dividimos entre –3 a la ecuación:
x = 40 – y = 40 – 20 = 20
Concluimos que asistieron a la fiesta 20 chicas y 20 chicos.
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
| Cramer | Con los números de la matriz del sistema se forman tres determinantes. |
| Reducción | Se multiplica cada una de las ecuaciones por los números necesarios para que al sumarlas posteriormente, quede una sola ecuación con una incógnita. |
| Igualación | Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan los resultados. |
| Sustitución | Se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye el valor obtenido en la otra. |
Al dividir entre –3 los dos miembros de la ecuación, da la sensación de que el tres desaparece de la izquierda de la igualdad y aparece a la derecha. Por eso se dice que si un término está multiplicando en uno de los miembros de la ecuación, puede pasar al otro miembro dividiendo y viceversa.
LA REGLA DE TRES Y SUS APLICACIONES
Mariona trabaja en una biblioteca. Una de sus ocupaciones consiste en introducir en el ordenador los datos de los libros nuevos que van llegando. Esta mañana ha dedicado 4 horas a rellenar los datos correspondientes a 48 libros. Su compañera Asunción ha calculado que, si hubiera tenido que ocuparse de 72 libros, habría empleado 6 horas. ¿Está en lo cierto?
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Asunción ha pensado en dos magnitudes: el número de libros y el tiempo empleado, y ha tenido en cuenta que, si Mariona tiene que ocuparse del doble de libros, tardará el doble de tiempo; si tiene que ocuparse del triple, tardará el triple, etc. Cuando esto ocurre, se dice que entre las dos magnitudes existe una proporcionalidad directa.
Un cociente entre dos números se llama razón. Si, por ejemplo, dos cantidades están en razón de cinco a dos, significa que una es dos veces y media mayor que la otra, ya que:
El ordenador de Mariona.
PROPORCIONES
Una proporción es la igualdad entre dos razones:
La regla de tres es una técnica basada en la proporcionalidad, que permite encontrar una cantidad desconocida a partir de tres conocidas.
Una regla de tres equivale a una proporción:
Otra forma de resolver el problema es la siguiente: dividimos 48 libros entre 4 horas y obtenemos que en una hora, Mariona introduce los datos de 12 libros. Después, rellenamos la tabla multiplicando el 12 sucesivamente por 2, 3, 4, 5 y 6.
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Supongamos ahora que Mariona hubiera contado con la ayuda de otra empleada dotada de una eficacia semejante. Para introducir los datos de los 48 libros, habrían tardado la mitad de tiempo. Por consiguiente, decimos que el número de empleados y el tiempo necesario para realizar el trabajo son inversamente proporcionales.
Para resolver un problema de proporcionalidad inversa, se iguala una razón a la inversa
