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Como los intereses se van acumulando al capital, el 3 % se aplica a cantidades mayores de dinero cada vez. Por consiguiente, el interés compuesto que el dinero produce anualmente no es constante, sino que cada vez es mayor.
INTERÉS SIMPLE
Aunque los bancos y las cajas de ahorro normalmente utilizan el interés compuesto, existe otro tipo de interés, llamado interés simple, que se caracteriza fundamentalmente por una propiedad: los intereses generados cada año no se acumulan al capital, sino que son siempre los mismos. Esto significa que si José deposita un millón de euros a un interés simple del 3 %, el banco le dará cada año 30.000 euros. Por tanto, los intereses acumulados durante los tres años ascenderán a 90.000 euros y el capital final será 1.090.000 euros.
Bombos para la realización de un sorteo (derecha) y el billete de la suerte de José (izquierda).
Una misma cantidad de dinero produce menos intereses si se deposita a interés simple que a interés compuesto.
Cajero automático de un banco.
PLANES DE INVERSIÓN
Laura es muy previsora. Sabe que, cuando se jubile, la pensión que cobrará será bastante menor que su sueldo actual. Por este motivo decide ahorrar 10.000 euros cada año e invertirlos en un banco que le ofrece un 5,5 % de interés anual garantizado. Actualmente le faltan 30 años para jubilarse. Cuando lo haga, ¿en qué cantidad se habrán convertido sus ahorros?
La cantidad ahorrada cada año se llama anualidad de capitalización. El capital final se calcula así:
= 764.194,29 euros.
Si Laura hubiera guardado el dinero en su casa, en el momento de jubilarse sólo tendría:
10.000 · 30 = 300.000 euros.
Los planes de inversión permiten obtener un suplemento al sueldo de jubilación.
DIFERENCIA ENTRE INTERÉS COMPUESTO Y ANUALIDADES
La diferencia entre José y Laura o, si lo prefieres, entre el interés compuesto y las anualidades consiste en que José deposita su dinero en el banco de golpe, mientras que Laura va depositando una parte cada año. Esto significa que su primera anualidad produce intereses compuestos durante 30 años; pero la segunda, sólo durante 29; la tercera, durante 28 y así sucesivamente.
HIPOTECAS
Ernesto se ha comprado un piso, pero como no tenía dinero suficiente, ha pedido una hipoteca de un millón de euros a un banco a devolver en 20 años. El tipo de interés anual es fijo: el 4%. ¿Qué cantidad de dinero tiene que devolver Ernesto cada año al banco?
Una hipoteca es un préstamo que nos hace una entidad bancaria para que podamos pagar el precio de una vivienda. Cuando un banco nos presta dinero, tenemos que devolver esa cantidad más los intereses correspondientes. La devolución de una hipoteca no se hace al final del plazo pactado, sino que cada año se devuelve una parte. La cantidad devuelta se denomina anualidad de amortización y se calcula así:
¿ MERECE LA PENA PEDIR UNA HIPOTECA?
Ernesto ha devuelto al banco en total 73.581,75 · 20 = 1.471.635 euros. Ha pagado pues 1.471.635 – 1.000.000 = 471.635 euros en concepto de intereses. Pero aún así, la operarción seguramente habrá sido rentable para él, ya que el aumento del valor de la vivienda en esos 20 años habrá sido muy superior.
El alto costo de las viviendas obliga a pedir una hipoteca a un banco.
FUNCIONES Y GRÁFICAS
Laura está realizando sus estudios y, con el fin de ganar algún dinero, compagina esta actividad con la de canguro. Cada hora que está cuidando niños cobra cinco euros. Sin duda existe una relación entre el número de horas trabajadas y la cantidad de euros cobrados. Podemos expresar entonces el dinero que gana Laura, medido en euros, en función del tiempo trabajado, medido en horas.
VARIABLES Y FÓRMULAS
Para representar la relación existente entre dos cosas, empleamos dos variables, es decir, dos letras en las que podemos sustituir números. Una, en nuestro ejemplo las horas trabajadas, se llama variable independiente y se representa generalmente con la letra x. La otra, que se representa con la letra y, recibe el nombre de variable dependiente. En nuestro caso es el dinero que Laura ha cobrado y que depende de la cantidad de horas trabajadas.
Utilizando estas dos variables, podemos traducir la expresión que define la función: «cada hora que está cuidando niños cobra cinco euros» a una fórmula matemática: y = 5x.
RELACIONES Y FUNCIONES
Una relación entre dos cosas será una función siempre que cumpla dos condiciones:
•Ambas se tienen que poder expresar con números reales.
•A cada valor de la variable independiente le tiene que corresponder un único valor de la variable dependiente. Así, por ejemplo, si Laura ha trabajado tres horas, tiene que cobrar quince euros y no puede cobrar ninguna otra cantidad.
LA FÓRMULA DE LA FUNCIÓN
El término función fue utilizado por primera vez por el filósofo y matemático alemán G.W. Leibniz, en 1673.
La fórmula de la función también puede escribirse así: f (x) = 5x. El matemático suizo Leonhard Euler ideó el símbolo f (x) en 1748. Para expresar, por ejemplo, que Laura ha trabajado tres horas y ha cobrado 15 euros, escribimos lo siguiente: f (3) = 5 · 3 = 15.
El filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
El matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783).
