и математических теорий, которые включают:
а) содержательно-теоретические, созданные:
– классической математикой;
– интуиционистской математикой;
– конструктивной математикой;
б) формульные объекты.
Рассмотрим некоторые особенности абстрактных объектов.
I. Объектами исследования интуиционистской математики являются, прежде всего, конструктивные объекты: натуральные объекты, рациональные числа, конечные множества конструктивных объектов. Основными объектами являются последовательности выбора, которые можно представить как функцию F(·), определенную на натуральном ряде и принимающую в качестве значений некоторые абстрактные объекты из некоторого класса (так, например, натуральные числа). При этом F(·) имеет значения, доступные для исследования.
Последовательности выбора в зависимости от степени информированности (относительно последовательности выбора) разделяют на следующие виды: 1) полностью известен закон образования последовательности выбора, например, в виде алгоритма, тогда такую последовательность выбора называют заданной законом (одна крайность); 2) если в каждый момент времени исследователю известен лишь некоторый начальный отрезок последовательности выбора и нет никакой информации относительно ее дальнейшего поведения, то такие последовательности выбора называются беззаконными (вторая крайность).
II. Объектами исследования конструктивной математики являются конструктивные процессы и возникающие в результате их выполнения конструктивные объекты. Понятия конструктивного процесса и конструктивного объекта являются первичными. Для конструктивного процесса характерно изменение по шагам согласно четко указанным правилам с элементарными, заведомо отличающимися друг от друга объектами, считающимися неразложимыми в ходе этих процессов. Возникающие в результате фигуры, составленные из исходных элементарных объектов, суть конструктивные объекты.
III. Классическая математика.
Характер той или иной математической теории существенно определяется характером абстракций, т. е. мысленного отвлечения от реальности путем идеализации и разнообразных многоступенчатых конструкций – наслоений. При этом суждения об абстрактных объектах, возникающих в результате наслоения далеко идущих идеализаций, требуют разработки особых способов их понимания, так называемую семантику.
Логический аппарат, допустимый для данной математической теории, зависит от исходных понятий и включает вид математической абстракции, положенной в основу понятий математической теории: классическая, интуиционистская и конструктивная математика.
Абстрактные объекты, в том числе математические модели, охватывают класс абстрактных (символических) математических объектов. Изучению подлежат:
1. Объекты содержательно-абстрактные, структурные, теоретические,
